번역:쉽게 배우는 미적분/제3장

제 3 장.
자라나는 데에도 빠르기가 있다.

미적분을 배우는 내내 우리는 자라나는 양들, 그리고 그 자라나는 빠르기를 가지고 씨름하게 된다. 어떤 양이든 상수(constant)와 변수(variable) 둘 중 하나로 나뉜다. 값이 고정되어 있으면 상수라고 부르고 대개 $a$, $b$, $c$처럼 영문 알파벳 앞쪽에 있는 글자로 나타낸다. 반면에 자라나거나 (수학자들이 좋아하는 표현대로) “변화(vary)”할 여지가 있으면 영문 알파벳 뒤쪽에 있는 $x$, $y$, $z$, $u$, $v$, $w$, $t$ 등의 글자로 나타낸다.^[1]

나아가 한 번에 두 가지 이상의 변수를 다루면서, 하나가 나머지에 따라 어떻게 달라지는지 따지게 되는 일이 많다. 이를테면 공중으로 던진 물체가 시간에 따라 얼마나 높이까지 올라가는지 따져보는 식이다. 아니면 넓이가 정해진 직사각형에서 높이가 늘어날 때 너비가 얼마나 줄어들어야 하는지 물어본다거나, 또는 사다리를 얼마나 기울이는지에 따라서 이르는 높이가 어떻게 달라지는지 따져볼 수도 있겠다.

가령 두 가지 변수가 있는데 하나가 나머지 하나에 종속되어 있다고 하자. 이 종속관계로 말미암아, 한쪽이 달라지면 나머지 한쪽도 따라서 달라진다. 앞의 변수를 $x$, 거기에 종속된 나머지 하나의 변수를 $y$라고 부르기로 하자.

이제 $x$를 직접 바꾸든지 혹은 바뀌는 상황을 상상해보든지 해서 $x$가 변화하도록 하고, 그 변하는 만큼을 $dx$라고 부르자. 그러니까 $x$가 $x+dx$로 되게 한다는 말이다. 그러면 $x$가 바뀌었으니까 $y$도 바뀌어서 $y+dy$가 되었을 것이다. 여기서 $dy$라는 조각은 양의 값도 음의 값도 가질 수 있으며, 그 값이 하필이면 $dx$와 꼭 같아지는 일 따위는 (기막힌 우연이 아니고서야) 일어나지 않을 것이다.

두 가지 예시를 보자.

(1) $x$, $y$가 각각 직각삼각형(그림 4)의 밑변과 높이에 해당한다고 하자. 단,

그림 4.

빗변의 기울기는 $30^{\circ }$로 고정되어 있다. 이 삼각형이 각도를 처음과 똑같이 유지하는 채로 점점 커진다면, 밑변이 자라나서 $x+dx$가 될 때 높이는 $y+dy$가 된다. 여기서는 $x$가 커지면 $y$도 커진다. 작은 삼각형을 보면 높이가 $dy$이고 밑변이 $dx$인데, 원래 삼각형과 닮은꼴이다. 그래서 ${\frac {dy}{dx}}$라는 비의 값은 ${\frac {y}{x}}$와 당연히 같다. 각도가 $30^{\circ }$이기 때문에, 여기서는 계산하면

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1.73}}$

이와 같이 된다.

(2) 그림 5처럼 길이가 일정한 사다리 $AB$를 벽에 기대 두었을 때, 바닥에 닿는 점이 벽에서 떨어진 수평 거리를 $x$로 나타낸다고 하자.

그림 5.

그리고 사다리가 벽에 얼마나 높이까지 닿는지를 $y$로 나타낸다고 하자. 그러면 $y$가 $x$에 종속되어 있음이 틀림없다. 바닥 쪽 끝점 $A$를 벽에서 살짝 더 끌어당기면 꼭대기 점 $B$는 벽을 따라 살짝 더 내려올 것이다. 과학적으로 표현하자면 $x$를 $x+dx$로 증가시킬 때 $y$가 $y-dy$가 된다고 쓸 수 있다. 다시 말해 $x$의 증가분이 양수이면 $y$의 증가분은 음수이다.

음수인 것은 알겠는데, 그 값은 대관절 얼마일까? 이를테면 바닥 쪽 끝점 $A$가 벽에서 $19$ 인치 떨어져 있을 때 꼭대기 점 $B$가 땅에서부터 $15$ 피트^[2] 높이에 이를 만큼, 사다리의 길이가 꼭 그 정도라고 해 보자. 이때 바닥 쪽 끝점을 $1$ 인치 더 멀리 잡아당기면 꼭대기 점은 얼마나 내려올까? 전부 인치로 나타내어 $x=19$, $y=180$ 인치라고 하자. 이때 $x$의 증가분 $dx$는 $1$ 인치이다. 다시 말해 $x+dx=20$ 인치이다.

그러면 $y$는 얼마큼 줄어들까? 새로운 높이는 $y-dy$이다. 유클리드 《원론》 제1권 정리 47번^[3]을 이용해서 높이를 구하면 $dy$가 얼마인지 알 수 있을 터이다. 사다리의 길이는

${\sqrt {(180)^{2}+(19)^{2}}}=181$

인치이다. 그러니 새로운 높이 $y-dy$는

$(y-dy)^{2}=$	$(181)^{2}-(20)^{2}=32761-400=32361$,
$y-dy=$	${\sqrt {32361}}=179.89$ 인치

이도록 될 것임이 분명하다. 이때 $y$가 $180$이니까 $dy$는 $180-179.89=0.11$ 인치이다.

이렇게 해서, $dx$가 $1$ 인치 증가를 나타낸다면 $dy$는 $0.11$ 인치 감소를 나타내게 됨을 살펴보았다.

그러면 $dy$와 $dx$의 비는 다음처럼 쓸 수 있겠다.

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {0.11}{1}}$.

또 $dy$의 크기가 (하필 특정한 어떤 곳에 있지 않고서는) $dx$와 다르리라는 것도 쉽게 알 수 있다.

앞으로 미적분학을 하는 내내 우리는 별난 사냥감 하나를 쫓고 쫓고 또 쫓을 텐데, 그 사냥감이란 다름이 아니라 어떤 비(比), 그러니까 $dx$와 $dy$가 둘 다 한없이 작을 때 둘 사이에 성립하는 비례 관계이다.

이때 ${\frac {dy}{dx}}$라는 비를 구하려면 $y$와 $x$가 어떻게든 서로 연관되어 있어서, $x$가 변할 때 $y$도 따라 변해야만 된다는 점을 짚어 두어야 하겠다. 이를테면 바로 앞에서 살핀 첫 번째 예시에서 삼각형의 밑변 $x$를 늘리면 높이 $y$도 따라서 길어지고, 두 번째 예시에서 사다리의 바닥 쪽 끝점이 벽에서 떨어진 거리 $x$를 늘리면 사다리가 이르는 높이 $y$는 그에 맞추어 줄어든다. 처음에는 천천히 감소하다가 $x$가 커질수록 점점 빠르게 감소한다. 이런 경우에 $x$와 $y$ 사이 관계는 완벽하게 정해져 있어서 수학적으로 표현할 수 있는데, 첫 번째 예시에서는 ${\frac {y}{x}}=\tan 30^{\circ }$, 두 번째 예시에서는 $x^{2}+y^{2}=l^{2}$ ($l$은 사다리의 길이)이다. 각각의 경우에 ${\frac {dy}{dx}}$의 의미는 우리가 찾은 바와 같다.

만일 $x$는 전처럼 사다리의 바닥 쪽 끝점이 벽에서 떨어진 거리인 데 반해 $y$는 사다리가 이르는 높이가 아니라 벽의 두께, 벽을 이루는 벽돌의 수, 혹은 벽이 지어진 햇수라고 하면, $x$가 변한다고 해서 $y$가 변할 까닭이 없다. 이런 경우 ${\frac {dy}{dx}}$는 아무 의미가 없으므로 수식으로 나타낼 수도 없다. 미분소 $dx$, $dy$, $dz$ 등을 쓸 때에는 반드시 $x$, $y$, $z$ 등이 서로 무슨 관계를 맺는다고 전제하고서 쓰는 법인데, 이 관계를 가리켜 $x$, $y$, $z$ 등에 대한 “함수”라고 부른다. 이를테면 앞에서 본 ${\frac {y}{x}}=\tan 30^{\circ }$ 및 $x^{2}+y^{2}=l^{2}$이라는 식은 $x$와 $y$에 대한 함수다. 이러한 식들은 $x$를 $y$로 혹은 $y$를 $x$로 나타내는 방법을 암시적으로 (implicitly; 다시 말해, 분명하게 보여주지는 않되) 내포한다. 이런 까닭으로 이들을 $x$와 $y$에 대한 음함수(implicit function)라고 부른다. 두 식을 바꾸어 나타내자면 첫째 식은

$y=x\tan 30^{\circ }$ 혹은 $x={\frac {y}{\tan 30^{\circ }}}$,

둘째 식은

$y={\sqrt {l^{2}-x^{2}}}$ 혹은 $x={\sqrt {l^{2}-y^{2}}}$

이라고 나타낼 수 있겠다.

지금 살펴본 식들은 $x$의 값을 $y$에 대하여, 혹은 $y$의 값을 $x$에 대하여 명시적으로 (explicitly; 즉 분명하게) 나타내므로 $x$ 또는 $y$의 양함수(explicit function)라고 부른다. 예컨대 $x^{2}+3=2y-7$은 $x$와 $y$에 대한 음함수인데, $y={\frac {x^{2}+10}{2}}$($x$의 양함수) 또는 $x={\sqrt {2y-10}}$($y$의 양함수)으로 바꾸어 쓸 수 있다. 그러니까 무엇이 $x$, $y$, $z$ 등의 양함수라는 말은 그 값이 $x$, $y$, $z$ 등이 (각각 혹은 다 함께) 변할 때 그에 따라 달라진다는 뜻일 뿐이다. 이런 이유로 양함수의 값을 종속변수라고 부른다. 함수의 나머지 변수들의 값에 종속되어 있기 때문이다. 한편 그 나머지 변수들은 그 값이 함수 자체의 값에 따라 정해지지 않으므로 독립변수라고 부른다. 예를 들어 $u=x^{2}\sin \theta$라면 $x$와 $\theta$는 독립변수이고 $u$는 종속변수이다.

가끔은 $x$, $y$, $z$ 등 여러 양들 사이에 정확히 어떤 관계가 있는지 정확히 모르거나 풀어 쓰기 어려울 때가 있다. 이때 알 수 있는 것은, 혹은 쉽게 풀어 쓸 수 있는 것은, 다만 이들 변수끼리 무슨 관계가 있기는 있어서 $x$, $y$, $z$ 중 하나를 변화시키면 나머지에도 반드시 영향이 미친다는 사실뿐이다. 이런 경우 $x$, $y$, $z$에 대한 함수가 있기는 있다는 사실을 나타내기 위해 $F(x,y,z)$ (음함수 꼴) 또는 $x=F(y,z)$, $y=F(x,z)$, $z=F(x,y)$ (양함수 꼴) 등으로 표기한다. $F$ 대신 $f$나 $\phi$ 같은 글자를 쓰기도 하는데, $y=F(x)$라고 쓰든 $y=f(x)$ 혹은 $y=\phi (x)$라고 쓰든 그 뜻은 매한가지다. 다시 말해 $y$의 값이 $x$의 값에 의존하기는 하지만, 어떻게 그러한지 풀어 쓰지는 않겠다는 뜻이다.

${\frac {dy}{dx}}$라는 비를 가리켜 “$x$에 대한 $y$의 미분계수”라고 부른다. 이토록 간단한 것에 붙이기에는 위압적인 과학적 명칭이다. 실상은 쉬운데도 이름이 위압적이라고 겁을 집어먹지는 말도록 하자. 겁먹기는커녕 왜 길고 발음하기도 어려운 이름을 붙이는지 멍청하기 짝이 없다고 시원하게 욕이나 해 주고서, ${\frac {dy}{dx}}$의 비라는 간단한 것을 찾아 나서기로 하자.

학교에서 대수학(代數學, algebra)을 배울 적에는 항상 $x$나 $y$ 같은 미지수를 사냥하러 나섰을 것이다. 아니면 두 가지 미지수를 동시에 사냥했을는지도 모르겠다. 이제는 새로운 방식으로 사냥에 나서야 한다. 아비 여우 $x$도, 어미 여우 $y$도 아니고 ${\frac {dy}{dx}}$라는 별난 새끼 여우가 우리 사냥감이다. ${\frac {dy}{dx}}$의 값을 찾는 과정을 “미분”이라고 부른다. 다만 명심해야 할 점은 우리가 구해야 하는 것이 $dy$와 $dx$가 둘 다 한없이 작을 때 그들의 비의 값이라는 사실이다. 두 양이 각각 한없이 작을 때 둘의 비는 결국 어떤 값에 끝없이 다가가게 되는데, 이것이야말로 미분계수의 참값이다.

이제 ${\frac {dy}{dx}}$를 어떻게 찾아나서면 좋을지 알아보자.

 

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3장 후주.
미분소 읽는 법.

학생들은 흔히 $dx$가 $d$ 곱하기 $x$라고 오해하곤 하는데, 그래서는 절대 안 된다. $d$는 곱셈의 인수가 아니라 뒤에 이어지는 것의 “작은 요소” 혹은 “아주 조금만큼”이라는 뜻이다. 따라서 $dx$는 “디엑스”라고 읽어야 한다.

이런 사항을 귀띔 받을 일이 없었던 이들을 위하여 미분계수 읽는 법을 간단히 일러두도록 하겠다. 미분계수

${\frac {dy}{dx}}$는 “디와이 바이(by) 디엑스” 또는 “디와이 오버(over) 디엑스”라고 읽는다.^[4]

마찬가지로 ${\frac {du}{dt}}$는 “디유 바이 디티”라고 읽는다.

나중에 가면 2계 미분계수도 만나게 된다. ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$와 같이 생긴 녀석들인데, “디-투(two)-와이 오버 디엑스 스퀘어(square)”처럼 읽는다.^[5] $y$를 $x$에 대해 미분하는 연산을 두 번 한다는 뜻이다.

함수를 미분했다고 나타내려면 함수 기호에 악센트(accent) 부호를 붙이는 수도 있다. 그러니까 $y=F(x)$($y$가 $x$에 대한 불특정 함수라는 뜻. 14쪽 참고)라면 ${\frac {d(F(x))}{dx}}$ 대신 $F'(x)$라고 쓰는 것이다. 마찬가지로 $F''(x)$는 원래 함수 $F(x)$를 $x$에 대해 두 번 미분하였다는 뜻이 될 터이다.

레이아웃 2

1. 옮긴이주: 상수를 뜻하는 'constant'는 그 자체로 '일정하다'는 뜻이 있고, 변수를 뜻하는 'variable'은 문자 그대로 읽으면 변화(vary)할 수 있다(able)는 뜻이니, 글쓴이는 영어를 쓰는 사람들에게 수학 용어를 알기 쉽게 풀이하고 있는 것이다.
2. 옮긴이주: 1 피트는 12 인치이다.
3. 옮긴이주: 피타고라스 정리
4. 옮긴이주: 오늘날에는 뜻을 명료하게 하려고 “$x$에 대한 $y$의 도함수(derivative of $y$ with respect to $x$)”라고도 많이 읽는다. 이에 비하면 'over'와 'by'를 사용하는 본문의 표현은 영미권에서 분수를 읽는 방법과 맞닿아 있다. ${\frac {3}{2}}$를 “$3$ over $2$”라고 읽듯이 ${\frac {dy}{dx}}$도 꼭 그렇게 읽는 것이다. 글쓴이는 이러한 독법을 소개하면서 ${\frac {dy}{dx}}$를 통상적인 분수와 같이 취급하여도 좋다는 인상을 주기를 꾀한다. 한편 우리나라에서는 “디와이 디엑스”라고 읽도록 가르치면서 분수처럼 “디엑스 분의 디와이”라고 읽지 않도록 주의를 주는 일이 흔하다. 글쓴이가 국역본을 감수했다면 아마도 “디엑스 분의 디와이”라는 독법을 적극 권장하도록 했을 것이다.
5. 옮긴이주: 우리말로는 “$x$에 대한 $y$의 이계도함수”라고 읽는 것이 가장 일반적이다. 본문의 독법을 우리 문화로 옮겨 온다면 “디투와이 디엑스 제곱”이나 “디엑스 제곱 분의 디투와이”쯤 될 것이다.