번역:쉽게 배우는 미적분/제4장

제 4 장.
가장 단순한 경우.

이제 기본 원리를 바탕으로 단순한 수식을 미분하려면 어떻게 하는지 알아보자.

사례 1.

우선 $y=x^{2}$라는 단순한 식으로 시작해보자. 이때 미적분의 근본이 되는 생각이 자라난다는 관념임을 기억하자. 수학자들은 변화한다(varying)는 말을 쓴다. 이제 $y$와 $x^{2}$이 서로 같다고 했으니까, $x$가 자라면 $x^{2}$도 자라고, $x^{2}$가 자라면 $y$도 자랄 것임이 분명하다. 우리가 찾아야 되는 것은 $y$가 자라나는 정도와 $x$가 자라나는 정도 사이의 비례 관계이다. 다시 말해 우리 과제는 $dy$와 $dx$의 비, 즉 ${\frac {dy}{dx}}$의 값을 찾는 것이다.

그러면 $x$가 조금 커져서 $x+dx$가 되게 해보자. 마찬가지로 $y$도 조금 커져서 $y+dy$가 될 것이다. 이때 커진 $y$는 여전히 커진 $x$의 제곱과 똑같을 것임이 틀림없다. 이것을 풀어 적어 보면 다음과 같다.

$y+dy=(x+dx)^{2}$.

제곱 계산을 하면 다음을 얻는다.

$y+dy=x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}$.

$(dx)^{2}$이란 무슨 뜻일까? $dx$가 $x$ 아주 조금만큼이라는 뜻임을 상기하자. 그러면 $(dx)^{2}$이란 $x$ 아주 조금만큼이 아주 조금만큼 있다는 뜻일 터이다. 다시 말해, 앞(4쪽)에서 설명했듯이, 2단계로 작은 양인 것이다. 따라서 다른 양들에 비해 보잘것없다고 치고 무시하여도 되겠다. 제외하면 다음을 얻는다.

$y+dy=x^{2}+2x\cdot dx$.

이제 $y=x^{2}$이니까 양변에서 빼면 다음과 같다.

$dy=2x\cdot dx$.

양변을 $dx$로 나누면 다음 결론에 이른다.

${\frac {dy}{dx}}=2x$.

바로 이것^[1]이야말로 우리가 찾던 것이다. $y$와 $x$가 자라나는 정도의 비는 (이 경우에는) $2x$로 밝혀졌다.

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1. 주의: ${\frac {dy}{dx}}$라는 비는 $y$를 $x$에 대해 미분한 결과이다. 미분한다는 말은 곧 미분계수를 구한다는 뜻이다. 만일 $x$에 대한 어떤 다른 함수, 예컨대 $u=7x^{2}+3$과 같은 변수가 있어서 이를 $x$에 대해 미분한다고 하면, ${\frac {du}{dx}}$ 즉 ${\frac {d(7x^{2}+3)}{dx}}$를 구해야 할 것이다. 한편 $y=b+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$처럼 독립변수가 시간인 경우도 있겠다 (15쪽 참고). 이것을 미분하라고 한다면 $t$에 대한 미분계수를 구해야 할 터이다. 그러면 우리가 할 일은 ${\frac {dy}{dt}}$ 즉 ${\frac {d(b+{\tfrac {1}{2}}at^{2})}{dt}}$를 구하려고 시도하는 것이다.