HAMILTONsches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie
H.A.로런츠와 D.힐베르트는 최근 일반 상대성 이론의 방정식을 단일 변분 원리로부터 유도함으로써 이론을 특별히 포괄적인 형태로 제시하는 데 성공하였다.[1] 이곳에서도 같은 것을 할 것이다. 이곳에서 나의 목적은 일반 상대성 원리가 허용하는 한 최대한 투명하고 포괄적으로 그 근본적인 관련성을 제시하는 것이다. 힐베르트의 방법과 다르게, 나는 물질의 구성에 대한 가정을 최대한 줄일 것이다. 한편, 나의 이 주제에 관한 최근 접근 방식과도 다르게 좌표계의 선택은 완전히 자유롭게 둘 것이다.
§1. 변분 원리와 중력 및 물질의 장 방정식.
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평소와 같이 중력장은
로 구성된 텐서(혹은
)로[2] 기술하고, (전자기장을 포함한) 물질은 임의의 개수를 갖는 시공간 함수
로 기술하되 불변이론적 성질(invariantentheoretischer Charakter)은 무시한다. 또한,
는
와
의 함수라 하자. 그러면 변분 원리
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은 함수
와
의 개수만큼의 미분 방정식을 제공하며, 이들은
와
들이 서로 독립적으로 변분되어 적분의 경계에서
가 모두 사라진다는 가정 속에 결정된다.
이제
가
에 대하여 선형이고
의 계수가
에만 의존한다고 가정하자. 그러면 변분 원리
은 우리에게 보다 편리한 형태로 대체할 수 있다. 적절한 부분적분을 통해
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를 얻는데, 이 때
는 고려하는 정의역의 경계를 영역으로 하는 적분이고,
는
에만 의존하고
에는 의존하지 않는 양이다. 우리가 관심을 두는 변분에 대해서는
로부터
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를 얻으며, 이로부터 우리는 변분 원리
을 보다 편리한
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으로 교체할 수 있다.
과
를 따라서 변분을 취하면 중력과 물질의 장 방정식에 대하여 다음 방정식
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을 얻는다.[3]
에너지 성분을 두 개의 독립적인 부분으로 분리하여 하나는 중력장으로, 하나는 물질로 두는 것은
가
에 의존하는 구체적 방식에 대하여 특수한 가정을 가하지 않는 한 불가능하다. 이론에 이러한 성질을 도입하기 위해서
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이라 가정하자. 여기에서
는
에만 의존하고
은
에만 의존한다. 이 때 방정식
는
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의 형태를 갖는다. 여기에서
와
는
와
의 관계와 같다.
또는
가 각각
의 일계 미분보다 높은 차수에 의존한다면 방정식
과
는 다른 것으로 교체해야 한다는 것을 주의해야 한다. 마찬가지로,
가 서로 독립적이지 않고 조건 방정식들에 의해서 서로 연관되어 있을 가능성도 상상할 수 있다. 이들은 모두 앞으로의 전개에서 관련이 없는데, 그것이 오로지 우리의 적분을
에 대하여 변분한 방정식
에만 의존하기 때문이다.
§3. 불변 이론에 기반한 중력장 방정식의 성질.
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이제
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가 불변이라는 가정을 도입하자. 이는
의 변환적 성질을 고정한다. 물질을 기술하는
의 변환적 성질에 대해서는 아무런 가정도 하지 않는다. 그러나, 함수
와
은 시공간 좌표의 임의의 교체에 대하여 불변이어야 할 것이다. 이 가정으로부터
에서 유도된 방정식
과
의 일반 공변성이 도출된다. 더 나아가 (비례상수를 감안한)
가 리만 곡률 텐서의 스칼라라는 결론이 나오는데,
에 요구되는 성질을 만족시키는 다른 불변량은 없기 때문이다.[4] 이것으로,
그리고 그에 따라 장 방정식
의 좌변은 완전히 결정된다.[5]
일반 상대성의 공준은 함수
의 어떤 성질을 수반하는데, 이것을 지금 유도할 것이다. 이 목적을 위해서 좌표의 무한히 작은 변환을 수행하여
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라 둔다. 여기에서
는 좌표에 대하여 임의로 부여되는 무한히 작은 함수이다.
은 새로운 좌표계에서의 세계점(world point)의 좌표를 나타내며, 원래 좌표계에서
좌표를 갖는 점과 같은 점이다. 좌표처럼, 다른 임의의 양
에 대한 변환 규칙이 있어서
와 같다. 여기에서
는 반드시 언제나
의 항으로 기술될 수 있어야 한다.
의 공변적 성질로부터
와
에 대한 변환 규칙은 쉽게 유도할 수 있다:
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는
과
의 도움으로 계산될 수 있는데,
는 오직
와
에만 의존하기 때문이다. 따라서, 다음 방정식
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을 얻으며, 여기에서
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라 두었다. 이 두 방정식으로부터 우리는 앞으로 중요해지는 두 개의 결론을 얻는다. 우리는
가 임의의 변환에 대하여 불변이지만
는 그렇지 않다는 것을 안다. 하지만, 후자의 양이 좌표의 선형 변환에 대하여 불변이라는 것은 쉽게 증명된다. 결과적으로,
의 우변은
가 사라질 때 반드시 항상 사라져야 한다. 그러면
는 반드시 항등식
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을 만족시켜야 한다.
만약 더 나아가
가 고려하는 정의역 내부에서만
과 다르고 경계의 무한한 근방에서는 사라진다고 설정하면, 방정식
에서 경계를 따라 적분한 값은 좌표 변환 동안 변하지 않는다. 그러므로
을 얻고, 따라서[6]
를 얻는다. 그런데 방정식의 좌변은
와
가 불변이므로 반드시 사라져야 한다.
에 의해 다음으로 방정식
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을 얻는다.
두 번의 부분적분으로 정리하고,
의 자유도를 고려하면 항등식
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을 얻는다. 이제
의 불변성, 즉 일반 상대성 공준으로부터 유도된 두 항등식
와
로부터 몇 가지 결과를 이끌어내야 한다.
중력장 방정식
은 먼저
의 혼합 곱셈에 의해 변형될 수 있다. 그러면 (첨수
와
를 교환하여) 방정식
의 한 동치로써 다음 방정식
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를 얻는다. 여기에서
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라 두었다.
의 후자 표현은
와
에 의해 정당화된다.
을
에 대하여 미분하고
에 대하여 더하면,
을 고려했을 때
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을 얻는다.
방정식
은 운동량과 에너지의 보존을 나타낸다. 우리는
를 물질 에너지의 성분,
를 중력장 에너지의 성분이라 부른다.
중력장 방정식
로부터 (
를 곱한 다음,
와
에 대하여 더하고
을 고려하면)
또는
와
을 고려하면,
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을 얻는다. 여기에서
는
를 나타낸다. 이들은 물질 에너지의 성분이 만족시켜야 하는 네 개의 방정식이다.
여기에서 (일반 공변적인) 보존 법칙
과
가 (일반 공변성 공준과 함께) 중력장 방정식
만으로부터 유도되었으며 물질 과정에 대한 장 방정식
은 사용하지 않았다는 것을 강조한다.
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