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$y$의 증가분은 음수이다.

음수인 것은 알겠는데, 그 값은 대관절 얼마일까? 이를테면 바닥 쪽 끝점 $A$가 벽에서 $19$ 인치 떨어져 있을 때 꼭대기 점 $B$가 땅에서부터 $15$ 피트^[1] 높이에 이를 만큼, 사다리의 길이가 꼭 그 정도라고 해 보자. 이때 바닥 쪽 끝점을 $1$ 인치 더 멀리 잡아당기면 꼭대기 점은 얼마나 내려올까? 전부 인치로 나타내어 $x=19$, $y=180$ 인치라고 하자. 이때 $x$의 증가분 $dx$는 $1$ 인치이다. 다시 말해 $x+dx=20$ 인치이다.

그러면 $y$는 얼마큼 줄어들까? 새로운 높이는 $y-dy$이다. 유클리드 《원론》 제1권 정리 47번^[2]을 이용해서 높이를 구하면 $dy$가 얼마인지 알 수 있을 터이다. 사다리의 길이는

${\sqrt {(180)^{2}+(19)^{2}}}=181$

인치이다. 그러니 새로운 높이 $y-dy$는

$(y-dy)^{2}=$	$(181)^{2}-(20)^{2}=32761-400=32361$,
$y-dy=$	${\sqrt {32361}}=179.89$ 인치

이도록 될 것임이 분명하다. 이때 $y$가 $180$이니까 $dy$는 $180-179.89=0.11$ 인치이다.

이렇게 해서, $dx$가 $1$ 인치 증가를 나타낸다면 $dy$는 $0.11$ 인치 감소를 나타내게 됨을 살펴보았다.

그러면 $dy$와 $dx$의 비는 다음처럼 쓸 수 있겠다.

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {0.11}{1}}$.

또 $dy$의 크기가 (하필 특정한 어떤 곳에 있지 않고서는) $dx$와 다르리라는 것도 쉽게 알 수 있다.

앞으로 미적분학을 하는 내내 우리는 별난 사냥감 하나를 쫓고 쫓고 또 쫓을 텐데,

1. 옮긴이주: 1 피트는 12 인치이다.
2. 옮긴이주: 피타고라스 정리