물체의 관성은 에너지 함량에 의존하는가?

물체의 관성은 에너지 함량에 의존하는가?

Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?

알베르트 아인슈타인
A.Einstein

최근 이 학술지에서 내가 출판했던 전기동역학 연구^[1]의 결과는 매우 흥미로운 결론으로 이어지며, 여기에서 그것을 유도하려고 한다.

그곳에서 나는 빈공간에서의 맥스웰-헤르츠 방정식과 공간의 전자기 에너지에 관한 맥스웰의 표현에 바탕을 두었고, 또한 다음 원리도 사용하였다:

물리계의 상태 변화를 지배하는 법칙은, 그것을 서술하기 위해 서로에 대해 균일하게 평행 병진운동하는 두 좌표계 중 어느 것을 사용하느냐에는 의존하지 않는다(상대성 원리).

이 근본 원리들^[2]을 기반으로, 나는 특히 다음 결과들을 유도하였다(loc. cit., §8):

빛의 구면파계가, 좌표계 $(x,y,z)$에 대하여 에너지 $l$을 갖는다고 하자. 광선의 방향(파동법선)이 계의 $x$-축과 $\varphi$의 각도를 이룬다고 하자. $(x,y,z)$계에 대하여 균일하게 평행 병진운동하고 원점이 $x$-축을 따라 속도 $v$로 운동하는 새로운 좌표계 $(\xi ,\eta ,\zeta )$를 도입하면, 위에서 언급한 빛은, $(\xi ,\eta ,\zeta )$계에서 측정했을 때 다음과 같은 에너지를 갖는다.

$l^{*}=l{\frac {\displaystyle 1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}$

여기에서 $V$는 광속을 나타낸다. 우리는 다음에서 이 결과를 활용할 것이다.

$(x,y,z)$계에 정지한 물체가 있어서 $(x,y,z)$계에 대한 에너지가 $E_{0}$이라 하자. 위에서처럼 $v$의 속도로 움직이는 $(\xi ,\eta ,\zeta )$계에 대한 물체의 에너지는, $H_{0}$이라 하자.

이 물체가 빛의 평면파 형태의 에너지 $L/2$ ($(x,y,z)$계에서 측정) 를 $x$-축과 $\varphi$의 각도를 이루는 방향으로, 그리고 동일한 양을 반대 방향으로 동시에 방출했다고 하자. 그동안 물체는 $(x,y,z)$에 대하여 정지 상태를 유지할 것이다. 이 과정은 에너지 원리를 만족시켜야 하며, 이는 (상대성 원리에 의해) 양쪽 좌표계에 대하여 참이어야 한다. $E_{1}$과 $H_{1}$이 각각 $(x,y,z)$계와 $(\xi ,\eta ,\zeta )$계에서 측정했을 때 빛을 방출한 뒤 물체의 에너지를 표기한다면, 우리는 위에서 제시한 관계를 사용하여

$E_{0}=E_{1}+\left({\frac {L}{2}}+{\frac {L}{2}}\right),$

$H_{0}=H_{1}+\left({\frac {L}{2}}{\frac {\displaystyle 1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}+{\frac {L}{2}}{\frac {\displaystyle 1+{\frac {v}{V}}\cos \varphi }{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}\right)=H_{1}+{\frac {L}{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}$

을 얻는다. 서로 빼면, 이들 방정식으로부터

$(H_{0}-E_{0})-(H_{1}-E_{1})=L\left\{{\frac {1}{\sqrt {\displaystyle 1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}-1\right\}$

을 얻는다. 이 표현식에서 나타나는 두 개의 차 $H-E$는 간단한 물리적 의미를 갖는다. $H$와 $E$는 상대적 운동을 보이는 두 좌표계에서 바라본 동일한 물체의 에너지 값이며, 이 때 물체는 한쪽 계에 대하여 정지해 있다($(x,y,z)$계). 따라서 차 $H-E$는 다른 계 ($(\xi ,\eta ,\zeta )$계) 에서 보았을 때 물체의 운동 에너지 $K$와 덧셈 상수 $C$에 의해서만 다를 수 있으며, 이는 에너지 $H$와 $E$의 덧셈 상수에 대한 임의적 선택에 의존한다. 따라서

$H_{0}-E_{0}=K_{0}+C$

$H_{1}-E_{1}=K_{1}+C$

라 놓는데, $C$는 빛의 방출 과정에서 변하지 않기 때문이다. 따라서, 우리는

$K_{0}-K_{1}=L\left\{{\frac {1}{\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}}-1\right\}$

을 얻는다. $(\xi ,\eta ,\zeta )$ 기준 물체의 운동 에너지는 빛의 방출의 결과로, 물체의 특성에 독립적인 양만큼 감소한다. 또한, 차 $K_{0}-K_{1}$은 정확히 전자의 운동 에너지와 같은 방식으로 속도에 의존한다(loc. cit., §10).

$4$차 이상의 양들은 무시하면, 우리는

$K_{0}-K_{1}={\frac {L}{V^{2}}}{\frac {v^{2}}{2}}$

이라 둘 수 있다.

이 방정식으로부터 다음이 바로 도출된다:

물체가 에너지 $L$을 복사의 형태로 방출하면, 그 질량은 $L/V^{2}$만큼 감소한다. 여기에서 물체에서 추출된 에너지가 다른 에너지가 아닌 복사 에너지의 형태로 바뀌었다는 사실은 명백히 중요하지 않으므로, 우리는 보다 일반적인 결론에 도달하게 된다:

물체의 질량은 그 에너지 함량을 측정한 것이다; 에너지가 $L$만큼 변화하면, 질량은 똑같이 $L/9\cdot 10^{20}$만큼 변화한다. 여기에서 에너지는 ${\text{erg}}$로, 질량은 ${\text{g}}$ 단위로 측정한 것이다.

아마도, 에너지 함량이 고도로 유동적인 물체(e.g. 라듐염)를 이용해 이 이론을 검증하는 것이 가능해질 수도 있을 것이다.

이 이론이 사실과 일치한다면, 복사는 방출하는 물체와 흡수하는 물체 사이에 관성을 전달하게 된다.

베른, 1905년 9월. (1905년 9월 27일 제출)

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1. A. Einstein, Ann. d. Phys. 17 (1905) : 891.
2. 그곳에서 사용한 광속 불변 원리는 물론 맥스웰 방정식에 포함된다.