일반 상대성 이론의 기초

일반 상대성 이론의 기초

Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie

알베르트 아인슈타인
A.Einstein

서문

아래에 제시된 이론은 오늘날 대개 "상대성 이론"[Relativitätstheorie]이라 알려진 이론의 가능한 한 가장 광범위한 일반화를 이룬다. 다음에서 나는 후자를 (전자와 구별하기 위해) "특수 상대성 이론"[spezielle Relativitätstheorie]이라 부르고, 이미 잘 알려져 있는 것으로 간주할 것이다. 상대성 이론의 일반화는 공간 좌표와 시간 좌표의 형식적 동등성을 명확히 인지한 첫 수학자 민코프스키[Minkowski]가, 이를 특수 상대성 이론의 구축에 응용하여 제공한 형태에 의해 크게 촉진되었다. 일반 상대성 이론에 필요한 수학적 도구는 이미 "절대 미분학"[absoluten Differentialkalkül]에 구비되어 있었다. 이 학문은 가우스, 리만, 크리스토펠의 비유클리드 다양체에 대한 연구를 바탕으로 리치와 레비치비타가 체계화한 것으로, 이미 이론 물리학의 문제들에 활용되어 왔었다. 이 논문의 B 파트에서 나는 필요한 모든 수학적 도구를 소개하였고, 최대한 간단하고 명료하게 제시하여 이 논문을 이해하기 위해 특별한 수학 문헌 공부가 필요하지 않도록 노력하였다. 마지막으로, 내 친구, 수학자 그로스만[Grossmann]에게 감사하고 싶다. 그는 내가 적절한 수학 문헌을 공부하는 수고를 덜어줬을 뿐만 아니라, 내가 중력장 방정식을 찾는 데 도움을 주었다.

A. 상대성 공준에 관한 근본적 고려사항.

§1. 특수 상대성 이론에 관한 언급.

특수 상대성 이론은 다음 공준을 바탕으로 하고 있는데, 이는 갈릴레이-뉴턴 역학[Galilei-Newtonsche Mechanik]에서도 성립하는 바이다: 어떤 좌표계 $K$가 그로부터 물리법칙들이 가장 간단한 형태로 성립하도록 선택되었을 때, $K$에 대하여 균일하게 병진운동하는 어떤 좌표계 $K'$에 대해서도 동일한 법칙들이 성립한다. 이 공준을 "특수 상대성 원리"라 부른다. "특수"[speziell]라는 단어는 이 원리가 $K'$이 $K$에 대하여 균일하게 병진운동하는 경우에만 한정되며, $K$에 대하여 $K'$이 불균일한 운동을 보이는 경우에는 적용되지 않는다는 것을 나타낸다.

따라서, 특수 상대성 이론이 고전 역학과 다른 것은 상대성 원리가 아닌 진공에서의 광속 불변 원리에 의한 것이며, 이것을 특수 상대성 원리와 결합하면 동시성의 상대성, 로런츠 변환, 움직이는 물체와 시계의 거동에 대하여 연관된 법칙들이 잘 알려진 방식대로 유도된다.

특수 상대성 이론을 통해 공간과 시간의 이론이 겪게 된 수정은 가히 심오한 것이다; 그러나 한 가지 중요한 점이 그대로 남아 있었다. 특수 상대성 이론에서도 기하학의 법칙은 (정지한) 강체들의 가능한 상대적 위치에 연관된 법칙으로 곧장 해석되었으며, 보다 일반적으로 운동학의 법칙은 측정체와 시계의 거동을 묘사하는 법칙으로 해석되었다. 정지한 강체 위의 어떤 두 질점에는 언제나 특정 길이의 거리가 대응되며, 이는 물체의 위치와 방향, 그리고 시간에 독립적이다. 어떤 특수한 좌표계에 대하여 정지한 시계의 어떤 두 지시점에는 언제나 특정 길이의 시간 간격이 대응되며, 이 또한 위치와 시간에 독립적이다. 일반 상대성 이론에서는 공간과 시간에 대하여 이 단순한 물리적 해석을 고수할 수 없다는 것이 곧 분명해질 것이다.

§2. 상대성 원리의 확장에 대한 필요성.

고전 역학에는, 그리고 특수 상대성 이론에도 마찬가지로, E.마흐[E. Mach]가 (아마 첫번째로) 정확하게 지적한 바 있는 인식론적 결함이 내재해 있다. 우리는 다음 예시를 통해 그것을 살펴볼 것이다. 크기와 성질이 동일한 두 유체가 서로 매우 먼 거리에서 공간을 자유롭게 떠다니고 있으며, 다른 물체로부터도 충분히 떨어져서 각 물체 내부의 다른 부분 사이의 상호작용으로 발생하는 중력만이 유의미하다고 가정하자. 두 유체 사이의 거리는 일정하고, 둘 다 각자의 부분끼리 상대적 움직임이 존재하지 않는다고 하자. 하지만 어느 한 유체는 (상대 유체에 대하여 정지한 관찰자가 보았을 때) 두 유체를 연결한 직선에 대하여 일정한 상대 각속도로 회전한다고 하자. 이 상대적 운동은 확인이 가능하다. 그리고 각 유체를 서로에 대해 정지한 측정 기구를 이용해 조사했을 때 $S_{1}$의 표면은 구체이고, $S_{2}$의 표면은 회전하는 타원체였다고 하자. 이제 다음과 같은 질문을 한다. 이 두 물체의 차이를 만드는 원인은 무엇인가? 어떤 대답이 "관측 가능한 경험적 사실"을 바탕으로 하고 있지 않다면, 그것은 인식론적으로 만족스럽다고 말할 수 없다.^[1] 인과론의 법칙은 관측가능한 사실들을 원인과 결과로 제시하지 않는 한 경험 세계에 대한 진술로서 효력을 갖지 못한다.

뉴턴 역학은 이 질문에 대한 만족스러운 대답을 내놓지 못한다. 그것은 다음과 같이 설명한다: 역학 법칙은 $S_{1}$이 정지해 있는 공간 $R_{1}$에서는 성립하지만, $S_{2}$가 정지해 있는 공간 $R_{2}$에서는 성립하지 않는다. 하지만 이 설명에 들어간 갈릴레이의 특별한 공간 $R_{1}$은 가상의 원인이지, 관찰할 수 있는 것이 아니다. 따라서 뉴턴 역학이 이와 같은 상황에 대해 인과론의 요구사항을 만족시키지 못하며, 그렇게 보일 뿐이라는 것은 명백하다. $S_{1}$과 $S_{2}$의 관측가능한 차이를 설명하기 위해 $R_{1}$이라는 가상의 원인을 도입하기 때문이다.

오직 만족스러운 대답은 $S_{1}$과 $S_{2}$으로 이루어진 물리계가 $S_{1}$과 $S_{2}$의 다른 거동을 설명하는 원인으로 언급될 수 없다는 것이다. 원인은 이 계의 바깥에 있어야 한다. 우리는 $S_{1}$과 $S_{2}$의 모양을 설명하는 일반적인 운동 법칙이, $S_{1}$과 $S_{2}$의 역학적 거동이 본질적 측면에서 부분적으로는 지금까지 고려한 계에서 포함하지 않았던 원거리의 물체들에 의해 결정되는 방식이어야 한다고 봐야 한다. 그렇다면, $S_{1}$과 $S_{2}$의 다른 거동에 대한 원인에는 (관찰이 가능한) 이 원거리의 물체들과 그들의 $S_{1}$과 $S_{2}$에 대한 상대적 운동이 자리잡아야 한다. 이들은 가상의 원인인 R₁의 역할을 대체하게 된다. $S_{1}$, $S_{2}$ 등 상상할 수 있는 임의의 상대적 움직임을 보이는 모든 공간에 대하여 앞서 언급한 인식론적 반론를 극복하지 못한다면, 그 어떤 것도 선험적으로 우월하다고 말할 수 없다. "물리법칙은 어떤 종류의 움직임을 보이는 좌표계에 대해서도 적용될 수 있는 본성을 지녀야 한다." 이러한 과정을 통해 우리는 상대성원리의 확장에 도달하게 된다.

지식의 이론에 기반한 무거운 논의에 더하여, 상대성이론의 확장을 지지하는 잘 알려진 물리적 사실이 있다. $K$가 갈릴레이 좌표계, 즉 이에 대하여 (적어도 고려하고 있는 4차원 영역에서는) 다른 물체로부터 충분히 떨어진 물체가 직선을 따라 균일하게 운동한다고 하자. $K'$은 $K$에 대하여 균일하게 가속 병진운동하는 두번째 좌표계라 하자. 그러면 $K'$에 대해서는 다른 물체들로부터 충분히 떨어진 물체는 그 가속과 가속방향이 물체의 물질적 구성과 물리적 상태와는 독립적이다.

$K'$에 대하여 정지한 관찰자는 이로부터 자신이 "실제로" 가속 좌표계에 놓여있다고 말할 수 있을까? 대답은 부정적이다; $K'$에 대해 자유롭게 움직이는 물체들의 거동은 다음 방법으로도 해석할 수 있다. 좌표계 $K'$은 가속하고 있지 않다. 다만 고려되는 시공간 영역이 중력장의 영향에 놓여 있기 때문에 $K'$에 대한 물체들의 가속 운동이 만들어진다.
이 관점은 모든 물체에 동일한 가속도를 부여하는 역장, 즉 중력장이 존재한다는 경험의 학습으로부터 가능하다.^[2] $K'$에 대한 물체의 역학적 거동은 우리가 "정지해 있다" 또는 "특별하다"고 간주하고 싶은 계에서의 경험과 일치한다. 따라서, 물리적 관점에서, $K$와 $K'$은 모두 "정지해있다"고 볼 동등한 정당성을 갖는다고 충분히 가정할 수 있다. 즉 이들은 현상의 물리적 기술에 있어서 좌표계로서 동일한 자격을 갖는다고 할 수 있다. 이러한 고찰로부터 우리는 일반 상대성이론을 추구하는 과정에서 어떤 중력 이론에 도달하게 될 것임을 알 수 있는데, 왜냐하면 단순히 가속을 시킴으로써 중력장을 "만들어낼 수" 있기 때문이다. 진공 광속 불변의 원리가 수정되어야 한다는 것 또한 명백한데, $K$에서 빛이 직선을 따라 일정한 속력으로 나아간다면 $K'$에서 광선의 경로는 일반적으로 곡선일 것이기 때문이다.

§3. 시공간 연속체. 자연의 일반 법칙을 표현하는 방정식에 대한 일반 공변성의 요구.

고전 역학과 특수 상대성 이론에서, 공간과 시간의 좌표값은 직접적인 물리적 의미를 갖는다. 어떤 점-사건이 $X_{1}$ 좌표값 $x_{1}$을 갖는다고 한다면, 이는 점-사건을 강체 막대 및 유클리드 기하학의 법칙에 의존해 $X_{1}$ 축에 사영시켰을 때, 주어진 (단위 길이의) 막대가 좌표의 원점으로부터 $X_{1}$ 축을 따라 $x_{1}$ 번 측정되었다는 것을 의미한다. 어떤 점-사건이 $X_{4}$ 좌표값 $x_{4}=t$를 갖는다고 한다면, 이는 주어진 단위 간격으로 시간을 측정하기 위해 만들어진 표준 시계가 좌표계에 대해 정지해 있고 편의상 점-사건과 공간 상에서 동시에 놓여 있을 때^[3], 사건이 발생하는 순간 시간 간격이 $x_{4}=t$만큼 측정된다는 것을 의미한다.

공간과 시간에 대한 이러한 관점은 물리학자들의 마음에 비록 무의식적인 것이라 해도 언제나 하나의 규칙으로 자리잡아 있었다. 이는 이 개념들이 물리적 측정에 이용되는 양상으로부터 분명하다; 이전 단락 (§2)에 대하여 독자가, 자신이 읽는 것과 무언가의 의미를 대응시키기 위해 벌인 고찰 과정에서도 이것을 바탕에 두었을 것이다. 하지만 특수 상대성이론이 중력장이 없는 특별한 상황에 적용된다고 한다면, 우리가 일반 상대성원리를 추구하기 위해서는 이것을 뒤로 하고 보다 일반적인 관점으로 대체해야 함을 보일 것이다.

중력장이 없는 공간에 갈릴레이 좌표계 $K(x,y,z,t)$와 $K$에 대하여 일정하게 회전하는 좌표계 $K'(x',y',z',t')$를 도입한다. 두 좌표계의 원점과 $Z$축이 영구히 일치하도록 하자. 이제 $K'$에서의 시공간 측정에 대해서는 길이와 시간의 물리적 의미에 대한 앞선 정의가 더 이상 유지될 수 없다는 것을 보일 것이다. 대칭성에 따라서 $K$의 $X,Y$ 평면의 원점을 중심으로 한 원이 $K'$에서도 $X',Y'$ 평면 상의 원으로 간주될 수 있다. 이 원의 둘레와 지름을 반지름에 비해 매우 작은 단위로 측정한 뒤 두 결과의 비율을 얻는다. 이 실험이 갈릴레이계 $K$에 대해 정지한 측정 막대로 수행되었다면, 그 비율은 $\pi$였을 것이다. $K'$에 대해 정지한 측정 막대의 경우, 그 비율은 $\pi$보다 컸을 것이다. 이는 측정의 전 과정을 "정지한" 계 $K$에서 바라보았을 때, 둘레에 댄 측정 막대는 로런츠 수축을 겪는 반면 반지름에 댄 막대는 그렇지 아니하다는 것으로부터 쉽게 이해할 수 있다. 따라서 유클리드 기하학은 $K'$에서 성립하지 않는다. 앞서 정의한 좌표 개념은, 유클리드 기하학을 전제로 하고 있으므로 $K'$에서는 무너지게 된다. 마찬가지로 $K'$에 대하여 정지한 시계로부터 $K'$에 일련의 물리적 요구를 충족하는 시간 역시 도입할 수 없다. 이것을 확인하기 위해, 동일하게 구성되어 있는 두 시계를 하나는 좌표계의 원점에, 다른 하나는 원의 둘레에 설치한 다음 "정지한" 좌표계 $K$에서 살펴보자. 특수 상대성이론의 친숙한 결과로부터 둘레에 있는 시계는 $K$에서 봤을 때 다른 하나보다 더 느리게 간다는 것을 알 수 있다. 전자는 움직이고 있고, 후자는 정지해 있기 때문이다. 좌표의 공통 원점에 위치한 관찰자는 빛의 도움을 받아 둘레에 놓인 시계를 관찰하면 그의 옆에 위치한 시계보다 느리게 흐르는 것을 보게 된다. 그는 빛의 궤적 상의 각 속력이 시간에 의존해 변할 것이라 보진 않을 것이므로, 그는 자신의 관찰 결과를 둘레에 위치한 시계가 "진짜로" 원점에 위치한 시계보다 느리게 흐른다고 판단하게 될 것이다. 따라서 그는 시계가 놓인 위치에 따라 시간의 흐름이 다르도록 정의할 수 있게 된다.

우리는 따라서 다음 결과를 얻는다: 일반 상대성이론에서, 공간과 시간은 공간 좌표의 차이가 즉각 단위 측정 막대로 측정되거나, 시간 좌표의 차이가 표준 시계로 측정되는 방식으로 정의될 수 없다.

따라서 시공간 연속체에 좌표를 일련의 방식으로 놓는 데 사용된 방법론은 붕괴되며, 좌표계를 4차원 우주에 자연법칙이 특별히 간단하게 구성되도록 놓을 다른 방법은 생각하기 어렵다. 그러므로, 원칙적으로 상상할 수 있는 모든 좌표계가 자연을 묘사하는 데에 적합하다고 가정하는 수밖에 없다. 따라서 이는 다음 요구로 이어진다:

자연의 일반 법칙은 모든 좌표계에서 성립하는 방정식, 즉 어떤 종류의 교체에 대해서도 공변적인 방정식들로 표현되어야 한다(일반 공변성; allgemein kovariant).

이 가정을 만족시키는 모든 물리 이론이 일반 상대성원리 또한 만족시킨다는 것은 자명하다. 모든 좌표 교체의 총합은 3차원 좌표계의 모든 상대적 운동에 대응되는 것 또한 포함할 것이기 때문이다. 일반 공변성, 즉 공간과 시간에 마지막 남은 물리적 객관성을 제거하는 이 요구는 다음에 제시될 고찰로부터 자연스러운 것이다. 시공간에 대한 모든 입증은 예외 없이 시공간 일치의 결정으로 수렴한다. 예를 들어, 사건들이 단순히 물질점들의 운동으로 구성되어 있다면 두 개, 혹은 그 이상의 점들이 만나는 것 외에는 관찰할 수 있는 것이 없을 것이다. 더욱이, 우리의 측정결과는 측정 도구들의 물질점들이 다른 물질점들과 만나는 것, 즉 시계 바늘과 시계판, 그리고 같은 위치와 같은 시간에 일어나는 점-사건들의 일치를 확인하는 것에 지나지 않는다.

기준계의 도입은 이러한 일치의 총체를 서술하기 위한 방안에 지나지 않는다. 우주에 네 개의 시공간 변수 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$를 도입하여 각각의 점-사건에 대응되는 변수 값 $x_{1}...x_{4}$가 존재하도록 하자. 두 일치하는 점-사건에는 하나의 변수 값 $x_{1}...x_{4}$가 대응된다. 즉, 일치는 좌표의 일치로 특징지어진다. 만약 $x_{1}...x_{4}$의 자리에 그 함수인 $x'_{1}...x'_{4}$를 새로운 좌표계로 도입하여 그 값들을 각각의 점에 혼동없이 대응시킨다면, 새 좌표계에서도 4개의 좌표가 일치하는 것은 두 점-사건의 시공간 일치를 표현하게 된다. 우리의 모든 물리적 경험은 궁극적으로 이러한 일치로 수렴하므로, 특정 좌표계를 더 선호할 즉각적인 이유가 없다. 즉 우리는 일반 공변성의 요구에 도달하게 된다.

§4. 공간적, 시간적 측정 결과에 대한 네 좌표의 관계. 중력장에 대한 분석적 표현.

이 논문의 목적은 일반 상대성이론을 가능한 한 논리적이고 최소한의 공리로 이루어진 체계로 제시하는 것이 아니다. 그보다는, 나의 중심 목표는 우리가 밟는 길을 독자가 심리적으로 자연스럽다고 느끼고, 그것을 지탱하는 가정들이 경험으로부터 가능한 한 확실하게 나타나도록 이 이론을 구축하는 것이라고 할 수 있다. 이 목표를 두고서 다음과 같이 가정할 수 있다.

무한히 작은 4차원 영역에서 좌표를 적당히 선택하면 제한적 의미의 상대성이론이 성립한다.

이 목적을 위해 우리는 무한히 작은 ("국소적") 좌표계의 가속을 조절하여 중력장이 발생하지 않도록 해야 한다. 이는 무한히 작은 영역에서는 가능하다. $X_{1},X_{2},X_{3}$을 공간 좌표, $X_{4}$를 시간 좌표라 두고 적당한 단위를 고른다.^[4] 어떤 강체 막대로 단위 측정을 한다면 (좌표계의 방향이 주어졌을 때) 그 좌표값은 특수 상대성이론에서와 같은 직접적 의미를 갖는다. 특수 상대성이론에 따라서 다음 표현

$(1)$

$ds^{2}=-dX_{1}^{2}-dX_{2}^{2}-dX_{3}^{2}+dX_{4}^{2}$

은 국소 좌표계의 방향에 독립적인 값을 갖게 되며, 공간과 시간의 측정으로부터 얻을 수 있다. 무한히 가까운 4차원 연속체 상의 점들에 부여되는 선소의 크기를, $ds$라 부른다. 민코프스키(Minkowski)를 따라서 $(dX_{1}...dX_{4})$에 대응되는 $ds^{2}$이 양수이면 시간꼴이라 하고, 반대의 경우에는 공간꼴이라고 부른다.

주어진 "선소" 혹은 두 무한히 가까운 점-사건에는, 임의로 선택된 기준계에 대하여 4차원 좌표의 미소량 $dx_{1}...dx_{4}$들 또한 대응된다. 이 계가, "국소" 좌표계와 마찬가지로 주어진 영역에 놓일 경우 $dX_{\nu }$는 그 자체로 $dx_{\sigma }$의 선형동차의 형태로 표현될 것이다.

$(2)$

$dX_{\nu }=\sum _{\sigma }a_{\nu \sigma }dx_{\sigma }$

이 표현을 $(1)$에 대입하면, $x_{\sigma }$의 어떤 함수 $g_{\sigma \tau }$에 대하여

$(3)$

$ds^{2}=\sum _{\sigma \tau }g_{\sigma \tau }dx_{\sigma }dx_{\tau }$

를 얻는다. 이는 더 이상 "국소" 좌표계의 방향과 운동상태에 의존하지 않는다. $ds^{2}$는 무한히 가까운 시공간 상의 점-사건을 막대와 시계를 이용해 측정하여 얻는 양이며, 좌표계의 선택에 상관없는 양이기 때문이다. 여기에서 $g_{\sigma \tau }$는 $g_{\sigma \tau }=g_{\tau \sigma }$가 되도록 선택하였다; 합은 모든 $\sigma$와 $\tau$의 값에 대해 이루어지므로 총 $4\times 4$ 개의 항으로 이루어져 있으며, 그 중 $12$개는 짝을 이루게 된다.

지금까지 고려한 사항으로부터, 기존의 상대성이론의 경우는 어떤 유한한 영역에서 $g_{\sigma \tau }$가 특징적인 성질을 가져서 좌표계를 적당히 선택하여 $g_{\sigma \tau }$가 다음 일정한 값을 갖도록 할 수 있을 경우 얻어지게 된다.

$(4)$

$\left\{{\begin{array}{rrrr}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&+1\end{array}}\right.$

나중에 우리는 이러한 방식의 좌표 선택이 일반적으로 유한한 영역에서는 불가능하다는 것을 확인할 것이다.

§2와 §3의 고려로부터, $g_{\sigma \tau }$ 들이 물리적 관점에서 선택된 좌표계에 대한 중력장을 기술하는 양임을 알 수 있다. 먼저, 특정 4차원 영역에 적절히 좌표계를 놓아 특수 상대성이론이 성립한다면 $g_{\sigma \tau }$는 $(4)$에서 주어진 값을 가질 것이다. 이 때 자유 물질점은 이 계에 대하여 직선으로 균일하게 운동할 것이다. 이제 임의로 새로운 시공간 좌표 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$를 도입하면, 이 새로운 계에서 $g_{\sigma \tau }$는 더이상 상수가 아니라, 공간과 시간의 함수가 될 것이다. 동시에 새로운 좌표계에서 자유 물질점의 운동은 곡선의 불균일한 운동이 될 것이며 이 운동의 법칙은 움직이는 입자의 성질에 의존하지 않을 것이다. 우리는 따라서 이 운동을 중력장의 영향에 놓인 운동으로 해석하게 될 것이다. 그러므로, 우리는 중력장의 발생이 $g_{\sigma \tau }$의 시공간 상의 변화와 연결되어 있다는 것을 알게 된다. 또한, 일반적인 경우 유한한 영역에서 특수 상대성이론이 적용되는 좌표계를 찾지 못한다면 $g_{\sigma \tau }$가 중력장을 기술한다는 것이 더욱 확실해진다.

따라서, 일반 상대성이론에 의하면 중력은 다른 힘, 특히 전자기력에 비해 예외적인 지위를 갖게 되는데, 중력장을 나타내는 10개의 함수는 동시에 공간의 측지적 성질 또한 정의하기 때문이다.

B. 일반 공변 방정식의 구축에 필요한 수학적 도구.

우리는 위에서 일반 상대성 공준이 물리학의 방정식들로 하여금 좌표계 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$의 임의적인 교체에 대하여 공변적이도록 요구한다는 것을 살펴보았으며, 이제 일반 공변 방정식을 어떻게 얻을 수 있는지 고려해야 한다. 이제 순수하게 수학적인 작업에 돌입하는데, 그 해법에 있어서 $(3)$으로 주어진 불변량 $ds$가 근본적인 역할을 수행한다는 것을 확인하게 될 것이다. 이것은 가우스의 곡면 이론(Gausssche Flächentheorie)의 표현을 빌려 지금까지 "선소"(Linienelement)라 불렀던 것이다.

공변에 대한 일반 이론의 근본적인 발상은 이러하다. 무언가("텐서")를 임의의 좌표계에 대하여 좌표에 대한 여러 개의 함수를 이용해 정의한다고 하자. 이 함수들을 텐서의 "성분"이라 부른다. 이 때, 만약 원래의 좌표계에 대하여 성분이 알려져 있고 새로운 좌표계와 원래의 좌표계를 연결하는 변환 규칙 또한 안다면, 이 성분들을 새로운 좌표계에서 계산할 수 있는 어떤 정해진 규칙이 존재한다. 앞으로 텐서라 부르는 것들은 그 성분들의 변환 규칙이 선형 동차적이라는 추가 성질을 갖고 있다. 그러므로 원래의 좌표계에서 성분이 모두 없어지면, 새로운 좌표계에서도 모든 성분은 사라진다. 따라서, 만약 자연의 한 법칙이 어떤 텐서의 모든 성분을 $0$으로 두는 방식으로 표현된다면, 그것은 일반 공변적이다. 텐서가 만들어지는 법칙들을 살펴봄으로써, 우리는 일반 공변적인 법칙들을 구성하는 방법을 얻을 수 있다.

§5. 반변 4-벡터와 공변 4-벡터.

반변 $4$-벡터. 선소는 네 개의 "성분" $dx_{\nu }$로 정의되며, 그 변환 규칙은 다음 방정식으로 표현된다.

$(5)$

$dx_{\sigma }'=\sum _{\nu }{\frac {\partial x_{\sigma }'}{\partial x_{\nu }}}dx_{\nu }$

$dx_{\sigma }'$은 $dx_{\nu }$에 대한 선형 동차 함수로 표현된다. 따라서, 이러한 좌표 미소변화량을 반변 $4$-벡터라 부르는 특정 유형의 "텐서"의 성분이라 볼 수 있다. 좌표계에 대하여 동일한 규칙

$(5a)$

$A^{'\sigma }=\sum _{\nu }{\frac {\partial x_{\sigma }'}{\partial x_{\nu }}}A^{\nu }$

를 만족시키는 네 개의 양 $A^{\nu }$로 정의되는 모든 것들 역시 반변 $4$-벡터라 부를 것이다. $(5a)$로부터 우선 $A^{\sigma }$와 $B^{\sigma }$가 $4$-벡터의 성분일 경우 그 합 $A^{\sigma }\pm B^{\sigma }$ 또한 $4$-벡터의 성분임을 알 수 있다. 앞으로 순차적으로 도입될 모든 "텐서"들 또한 동일한 대응 관계를 만족시킨다.(텐서의 덧셈과 뺄셈 규칙)

공변 $4$-벡터. 임의로 선택한 반변 $4$-벡터 $B^{\nu }$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 네 개의 양 $A_{\nu }$를 공변 $4$-벡터의 성분이라 부른다.

$(6)$

$\sum _{\nu }A_{\nu }B^{\nu }=$ (불변량)

공변 $4$-벡터의 변환 규칙은 이 정의로부터 유도된다. 다음 방정식

$\sum _{\sigma }A_{\sigma }'B^{'\sigma }=\sum _{\nu }A_{\nu }B^{\nu }$

의 우변에 있는 $B^{\nu }$를 $(5a)$를 반전시켜 얻을 수 있는 수식 표현

$\sum _{\sigma }{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x_{\sigma }'}}B^{\sigma '}$

으로 교체하면 다음을 얻는다.

$\sum _{\sigma }B^{'\sigma }\sum _{\nu }{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x_{\sigma }'}}A_{\nu }=\sum _{\sigma }B^{'\sigma }A_{\sigma }'$

이 방정식은 임의의 $B^{'\sigma }$ 값에 대하여 참이므로, 변환 규칙은 다음과 같다.

$(7)$

$A_{\sigma }'=\sum _{\nu }{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x_{\sigma }'}}A_{\nu }$

수식 표현을 간단히 적는 방법에 대한 언급. 이 문단의 방정식들을 훑어보면 두 번 등장하는 첨수에 대해서는 언제나 합이 (합 기호와 함께) 존재하며(예: $(5)$의 첨수 $\nu$), 오직 두 번 등장하는 첨수에만 존재한다는 것을 알 수 있다. 따라서 명료함을 잃지 않고, 합 기호를 누락시킬 수 있다. 그 자리에 다음 약속을 도입한다: 수식의 어느 항에 첨수가 두 번 등장하면, 분명하게 반대로 언급되지 않는 한 그것은 더하는 것으로 간주한다.

공변 $4$-벡터와 반변 $4$-벡터의 차이는 변환 규칙(각각 $(5)$와 $(7)$)에 있다. 각각은 앞서 일반적으로 언급한 바에 따라 텐서를 형성한다. 여기에서 이들의 중요성이 드러난다. 리치(Ricci)와 레비치비타(Levi-Civita)를 따라서, 반변의 성질을 갖는 것은 위 첨수, 공변의 성질을 갖는 것은 아래 첨수로 나타낸다.

§6. 이차 이상의 랭크를 갖는 텐서.

반변 텐서. 두 반변 $4$-벡터의 성분 $A^{\mu }$와 $B^{\nu }$의 총 $16$개의 곱 $A^{\mu \nu }$

$(8)$

$A^{\mu \nu }=A^{\mu }B^{\nu }$

을 만들면 $(8)$과 $(5a)$에 의해 $A^{\mu \nu }$는 다음 변환 규칙을 만족시킨다.

$(9)$

$A^{'\sigma \tau }={\frac {\partial x_{\sigma }'}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\tau }'}{\partial x_{\nu }}}A^{\mu \nu }$

임의의 좌표계에 대하여 변환 규칙 $(9)$를 만족시키는 $16$개의 양으로 표현되는 것을 랭크 $2$의 반변 텐서라 부른다. 모든 이러한 텐서를 $(8)$처럼 두 $4$-벡터의 곱으로 나타낼 수 있는 것은 아니지만, 임의로 주어진 $16$개의 $A^{\mu \nu }$가 적절히 선택한 $4$-벡터의 쌍에 대한 $A^{\mu }B^{\nu }$의 합으로 표현될 수 있다는 건 쉽게 보일 수 있다. 그러므로 우리는 $(9)$로 정의된 랭크 $2$ 텐서에 적용되는 거의 모든 규칙을 $(8)$에 의한 특별한 텐서들로 표현함으로써 가장 단순하게 증명할 수 있다.

임의의 랭크를 갖는 반변 텐서. $(8)$과 $(9)$를 따라서, $3$ 혹은 그 이상의 랭크를 갖는 반변 텐서들 또한 $4^{3}$ 개의 성분, 등등 동일한 방식으로 정의할 수 있다. $(8)$과 $(9)$에서 본 것과 같은 방식으로 해석하면, 반변 $4$-벡터는 랭크 $1$의 반변 텐서로 간주될 수 있다.

공변 텐서. 한편, 두 공변 $4$-벡터 $A_{\mu }$와 $B_{\nu }$의 $16$개의 곱 $A^{\mu \nu }$

$(10)$

$A_{\mu \nu }=A_{\mu }B_{\nu }$

을 취하면 이들에 대한 변환 규칙은 다음과 같다.

$(11)$

$A_{\sigma \tau }'={\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x_{\sigma }'}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x_{\tau }'}}A_{\mu \nu }$

이 변환 규칙은 랭크 $2$의 공변 텐서를 정의한다. 반변 텐서에 대한 앞선 모든 언급은 공변 텐서에도 동일하게 적용된다.

참고. 스칼라(혹은 불변량)를 랭크 $0$의 반변 혹은 공변 텐서로 다루면 편리하다.

혼합 텐서. 어떤 랭크 $2$의 텐서를 다음과 같이 정의하자.

$(12)$

$A_{\mu }^{\nu }=A_{\mu }B^{\nu }$

이는 첨수 $\mu$에 대하여 공변적이고, 첨수 $\nu$에 대하여 반변적이다. 그 변환 규칙은 다음과 같다.

$(13)$

$A_{\sigma }^{'\tau }={\frac {\partial x_{\tau }'}{\partial x_{\nu }}}{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x_{\sigma }'}}A_{\mu }^{\nu }$

자연스럽게, 공변성을 띠는 임의 개수의 첨수와 반변성을 띠는 임의 개수의 첨수에 대하여 혼합 텐서가 존재한다. 공변 텐서와 반변 텐서는 혼합 텐서의 특별한 경우로 간주할 수 있다.

대칭 텐서. 어떤 랭크 $2$ 이상의 반변 혹은 공변 텐서가, 원래 성분과 두 첨수를 뒤바꾸어 얻은 성분이 서로 같으면 대칭적이라고 한다. 텐서 $A^{\mu \nu }$ 혹은 텐서 $A_{\mu \nu }$는 따라서 첨수 $\mu ,\nu$의 임의의 조합에 대하여

$(14)$

$A^{\mu \nu }=A^{\nu \mu }$

혹은

$(14a)$

$A_{\mu \nu }=A_{\nu \mu }$

를 만족시킬 때 대칭적이다.

이와 같이 정의된 대칭성이 기준계에 독립적인 성질임은 증명해야 한다. 이는 $(14)$를 고려했을 때 $(9)$로부터 다음

$A^{'\sigma \tau }={\frac {\partial x_{\sigma }'}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial x_{\tau }'}{\partial x_{\nu }}}A^{\mu \nu }={\frac {\partial x_{\sigma }'}{\partial x_{\nu }}}{\frac {\partial x_{\tau }'}{\partial x_{\mu }}}A^{\nu \mu }=A^{'\tau \sigma }$

과 같이 유도된다. 마지막에서 두번째 방정식은 더해지는 첨수 $\mu ,\nu$의 교환에 의존한다. 즉 단지 표기를 바꾼 것이다.

반대칭 텐서. 어떤 랭크 $2,3,4$의 반변 혹은 공변 텐서가, 원래 성분과 두 첨수를 뒤바꾸어 얻은 성분이 부호만 반대이고 서로 같으면 반대칭적이라고 한다. 텐서 $A^{\mu \nu }$ 혹은 텐서 $A_{\mu \nu }$는 따라서 첨수 $\mu ,\nu$의 임의의 조합에 대하여

$(15)$

$A^{\mu \nu }=-A^{\nu \mu }$

혹은

$(15a)$

$A_{\mu \nu }=-A_{\nu \mu }$

를 만족시킬 때 반대칭적이다.

$16$개의 $A^{\mu \nu }$ 중 네 개의 성분 $A^{\mu \mu }$는 사라진다. 나머지는 짝끼리 부호만 반대이고 크기는 같다. 따라서, 수치적으로 다른 성분은 $6$개 뿐이다($6$-벡터). 마찬가지로 랭크 $3$의 반대칭 텐서 $A^{\mu \nu \sigma }$는 오직 네 개의 독립적인 성분만이 있고, 반대칭 텐서 $A^{\mu \nu \sigma \tau }$는 오직 하나뿐이다. $4$차원 연속체에서 랭크가 $4$보다 큰 반대칭 텐서는 존재하지 않는다.

§7. 텐서의 곱셈.

텐서의 외적. 랭크 $z$의 텐서와 랭크 $z'$의 텐서로부터, 그 성분을 서로 곱하여 랭크 $z+z'$의 텐서의 성분을 얻을 수 있다. 즉, 예를 들어 다른 종류의 텐서 $A$와 $B$로부터 텐서 $T$를 다음과 같이 얻는다.

$T_{\mu \nu \sigma }=A_{\mu \nu }B_{\sigma }$

$T^{\alpha \beta \gamma \delta }=A^{\alpha \beta }B^{\gamma \delta }$

$T_{\alpha \beta }^{\gamma \delta }=A_{\alpha \beta }B^{\gamma \delta }$

$T$가 텐서의 성질을 가짐은 수식 $(8),(10),(12)$ 혹은 변환 규칙 $(9),(11),(13)$으로부터 바로 증명할 수 있다. 방정식 $(8),(10),(12)$는 그 자체로 랭크 $1$ 텐서의 외적을 보여주는 예시이다.

혼합 텐서의 "축약". 임의의 혼합 텐서로부터, 공변성을 갖는 첨수와 반변성을 갖는 첨수를 일치시키고, 그 첨수에 대하여 더함으로써(축약) $2$ 이상의 랭크를 갖는 텐서를 만들 수 있다. 즉, 예를 들어 랭크 $4$ 텐서 $A_{\alpha \beta }^{\gamma \delta }$로부터 다음 랭크 $2$의 혼합 텐서

$A_{\beta }^{\delta }=A_{\alpha \beta }^{\alpha \delta }\quad (=\sum _{\alpha }A_{\alpha \beta }^{\alpha \delta })$

를 얻고, 이것을 다시 축약하면 랭크 $0$ 텐서 $A=A_{\beta }^{\beta }=A_{\alpha \beta }^{\alpha \beta }$를 얻는다.

축약의 결과가 실제로 텐서의 성질을 가진다는 것의 증명은 텐서의 표현에 대하여 $(6)$의 도움으로 $(12)$를 일반화하거나, $(13)$을 일반화하여 얻을 수 있다.

텐서의 내적과 혼합 곱셈. 이들은 외적과 축약의 혼합이다.

예시. 랭크 $2$의 공변 텐서 $A_{\mu \nu }$와 랭크 $1$의 반변 텐서 $B^{\sigma }$를 외적하여 혼합 텐서

$D_{\mu \nu }^{\sigma }=A_{\mu \nu }B^{\sigma }$

를 얻는다. 첨수 $\nu$와 $\sigma$에 대해 축약하면 공변 $4$-벡터

$D_{\mu }=D_{\mu \nu }^{\nu }=A_{\mu \nu }B^{\nu }$

를 얻는다. 이것을 두 텐서 $A_{\mu \nu }$와 $B^{\sigma }$의 내적이라 부른다. 유사한 방식으로 텐서 $A_{\mu \nu }$와 $B^{\sigma \tau }$로부터, 외적과 두 번의 축약을 거쳐 내적 $A_{\mu \nu }B^{\mu \nu }$를 얻는다. 외적과 한 번의 축약으로, $A_{\mu \nu }$와 $B^{\sigma \tau }$로부터 랭크 $2$의 혼합 텐서 $D_{\mu }^{\tau }=A_{\mu \nu }B^{\nu \tau }$를 얻는다. 이 연산은 적절히 혼합된 성격의 것으로서 첨수 $\mu$에 대한 외적, 첨수 $\nu ,\sigma$에 대한 내적으로 간주할 수 있다.

이제 텐서의 성질로서 자주 유용한 명제를 하나 증명할 것이다. 지금까지 설명한 것으로부터 $A_{\mu \nu }$와 $B^{\sigma \tau }$가 텐서이면 $A_{\mu \nu }B^{\mu \nu }$도 텐서이다. 하지만 다음과 같은 주장도 할 수 있다: $A_{\mu \nu }B^{\mu \nu }$가 임의의 텐서 $B^{\mu \nu }$에 대하여 스칼라이면, $A_{\mu \nu }$는 텐서의 성질을 갖는다. 먼저, 가정에 의해 임의의 변환에 대하여

$A_{\sigma \tau }'B^{'\sigma \tau }=A_{\mu \nu }B^{\mu \nu }$

이다. 그런데 $(9)$를 뒤집으면

$B^{\mu \nu }={\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x_{\sigma }'}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x_{\tau }'}}B^{'\sigma \tau }$

이다. 이것을 위 방정식에 대입하면

$\left(A_{\sigma \tau }'-{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x_{\sigma }'}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x_{\tau }'}}A_{\mu \nu }\right)B^{'\sigma \tau }=0$

을 얻는다. 임의의 $B^{'\sigma \tau }$ 값에 대하여 이것이 성립하려면 괄호 안이 사라져야 한다. 따라서 방정식 $(11)$으로부터 원하는 결과를 얻는다. 이 규칙은 임의의 랭크와 성질을 갖는 모든 텐서에 적용되며, 모든 경우에 증명은 동일하다.

이 규칙은 다음 형태로도 제시할 수 있다: $B^{\mu }$와 $C^{\nu }$가 어떤 벡터이면, 그리고 그 모든 값에 대하여 내적 $A_{\mu \nu }B^{\mu }C^{\nu }$가 스칼라이면, $A_{\mu \nu }$는 공변 텐서이다. 후자의 명제는 더 특수한 주장, 예를 들어 임의의 $4$-벡터 $B^{\mu }$에 대하여 내적 $A_{\mu \nu }B^{\mu }B^{\nu }$가 스칼라라는 주장이 성립하는 경우에도 참이 될 수 있다. 이 때에는 $A_{\mu \nu }$가 대칭 조건 $A_{\mu \nu }=A_{\nu \mu }$가 추가되어야 한다. 이것은 앞서 제시된 방법으로 $(A_{\mu \nu }+A_{\nu \mu })$의 텐서 성질을 가짐을 보인 다음, 이것과 대칭성으로부터 $A_{\mu \nu }$가 텐서의 성질을 갖는다는 것을 증명할 수 있다. 이는 임의의 랭크를 갖는 공변 및 반변 텐서의 경우에 대해서도 쉽게 일반화가 가능하다.

마지막으로, 지금까지 증명된 것으로부터 다음 규칙 또한 증명되며, 이 역시 임의의 텐서로 일반화할 수 있다: 임의로 주어진 $4$-벡터 $B^{\nu }$에 대하여 $A_{\mu \nu }B^{\nu }$가 랭크 $1$의 텐서를 형성한다면, $A_{\mu \nu }$는 랭크 $2$의 텐서이다. $C^{\mu }$가 임의의 $4$-벡터라 했을 때, $A_{\mu \nu }B^{\nu }$의 텐서 성질에 의해 내적 $A_{\mu \nu }C^{\mu }B^{\nu }$는 임의의 $4$-벡터 $B^{\mu }$와 $C^{\mu }$에 대하여 스칼라가 될 것이다. 이로부터 명제가 도출된다.

§8. 근본 텐서 $g_{\mu \nu }$의 몇가지 특성.

공변 근본 텐서. 선소의 제곱에 대한 불변적인 표현

$ds^{2}=g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu }$

에서 $dx_{\mu }$는 임의로 선택될 수 있는 반변 벡터의 역할을 한다. 더 나아가 $g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }$이므로, 앞선 고려 사항들로부터 $g_{\mu \nu }$가 랭크 $2$의 공변 텐서임을 얻는다. 이것을 "근본 텐서"(Fundamentaltensor)라 부른다. 다음으로는 이 텐서 뿐만 아니라 랭크가 $2$인 모든 텐서가 만족시키는 성질을 유도한다. 하지만 근본 텐서는 중력의 특이적인 작용이라는 물리적 기반으로 우리의 이론에서 특별한 역할을 수행하므로 이 관계들은 오직 근본 텐서의 경우에만 중요한 것들이다.

반변 근본 텐서. $g_{\mu \nu }$들로부터 행렬식을 만든 다음 각 $g_{\mu \nu }$의 여인자를 취하여 행렬식 $g=|g_{\mu \nu }|$으로 나누면 어떤 양 $g^{\mu \nu }(=g^{\nu \mu })$를 얻는데, 이것은 곧 살펴보겠지만 하나의 반변 텐서를 구성한다.

행렬식의 알려진 성질로부터

$(16)$

$g_{\mu \sigma }g^{\nu \sigma }=\delta _{\mu }^{\nu }$

를 얻는다. 여기에서 기호 $\delta _{\mu }^{\nu }$는 $\mu =\nu$ 또는 $\mu \neq \nu$일 때 각각 $1$ 또는 $0$이다.

따라서 $ds^{2}$를 상기의 표현 대신

$g_{\mu \sigma }\delta _{\nu }^{\sigma }dx_{\mu }dx_{\nu }$

또는 $(16)$에 의해

$g_{\mu \sigma }g_{\nu \tau }g^{\sigma \tau }dx_{\mu }dx_{\nu }$

와 같이 쓸 수 있다. 그런데 앞 문단의 곱셈 규칙에 따라서 다음 양

$d\xi _{\sigma }=g_{\mu \sigma }dx_{\mu }$

는 공변 $4$-벡터를 형성하고, 사실 $dx_{\mu }$가 임의로 주어졌으므로 임의의 벡터라고 할 수 있다. 이것을 앞의 표현에 대입하면

$ds^{2}=g^{\sigma \tau }d\xi _{\sigma }d\xi _{\tau }$

를 얻는다. 따라서 임의로 선택한 벡터 $d\xi _{\sigma }$에 대하여 이는 스칼라이며, $g^{\sigma \tau }$는 정의로부터 첨수 $\sigma$, $\tau$에 대하여 대칭이므로 앞 단락의 결과로부터 $g^{\sigma \tau }$가 반변 텐서라는 결론을 얻는다.

$(16)$으로부터 $\delta _{\mu }^{\nu }$ 또한 텐서임을 알 수 있는데, 이것을 혼합 근본 텐서(gemischten Fundamentaltensor)라고 부른다.

근본 텐서의 행렬식. 행렬식의 곱에 관한 규칙에 의해

$|g_{\mu \alpha }g^{\alpha \nu }|=|g_{\mu \alpha }||g^{\alpha \nu }|$

이고,

$|g_{\mu \alpha }g^{\alpha \nu }|=|\delta _{\mu }^{\nu }|=1$

이다. 따라서,

$(17)$

$|g_{\mu \nu }||g^{\mu \nu }|=1$

를 얻는다.

부피 스칼라. 먼저 행렬식 $g=|g_{\mu \nu }|$의 변환 규칙을 살펴보자. $(11)$에 의해

$g'=\left|{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x_{\sigma }'}}{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x_{\tau }'}}g_{\mu \nu }\right|$

이다. 따라서, 행렬식의 곱에 관한 규칙을 두 번 적용하면

$g'=\left|{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x_{\sigma }'}}\right|\left|{\frac {\partial x_{\nu }}{\partial x_{\tau }'}}\right|\left|g_{\mu \nu }\right|=\left|{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x_{\sigma }'}}\right|^{2}g$

또는

${\sqrt {g'}}=\left|{\frac {\partial x_{\mu }}{\partial x_{\sigma }'}}\right|{\sqrt {g}}$

를 얻는다. 한편 부피소

$d\tau =\int dx_{1}dx_{2}dx_{3}dx_{4}$

의 변환규칙은 야코비의 정리에 따라

$d\tau '=\left|{\frac {\partial x_{\sigma }'}{\partial x_{\mu }}}\right|d\tau$

이다. 마지막 두 방정식을 곱하면,

$(18)$

${\sqrt {g'}}d\tau '={\sqrt {g}}d\tau$

을 얻는다. 앞으로는 ${\sqrt {g}}$ 대신 시공간 연속체의 쌍곡 기하학적 성질을 고려했을 때 항상 실수가 되는 ${\sqrt {-g}}$를 도입한다. 불변량 ${\sqrt {-g}}d\tau$는 "국소" 기준계의 사차원 부피소를 특수 상대성이론에 따라 강체 막대와 시계로 측정한 크기와 같다.

시공간 연속체의 성질에 관한 언급. 특수 상대성이론이 무한히 작은 영역에서 언제나 성립한다는 우리의 가정은 $ds^{2}$이 언제나 실수 양 $X_{1}...X_{4}$를 통해 $(1)$로 표현될 수 있다는 것을 시사한다. $dX_{1}dX_{2}dX_{3}dX_{4}$로 이루어진 "자연스러운" 부피소를 $d\tau _{0}$라 하면,

$(18a)$

$d\tau _{0}={\sqrt {-g}}d\tau$

가 된다. 만약 $d\tau _{0}$이 사차원 연속체의 한 점에서 사라진다면, 이 점에서는 무한히 작은 "자연스러운" 부피가 좌표계의 유한한 부피에 대응된다. 이것이 불가능하다고 가정하자. 이 때 $g$는 부호를 바꿀 수 없으므로, 특수 상대성이론에 따라서 $g$는 언제나 유한한 음수 값을 갖는다고 가정한다. 이는 우리가 고려하는 연속체의 물리적 본성에 관한 가정인 동시에 좌표계 좌표계의 선택에 관한 약속이기도 하다.

그런데 만약 $-g$가 언제나 유한하고 양수라고 한다면, 후험적으로 좌표계를 선택하여 언제나 그것이 $1$이라고 두는 것이 자연스럽다. 향후, 이렇게 좌표계의 선택을 제한한다면 자연 법칙에 대하여 중요한 단순화를 달성할 수 있다는 것을 확인할 것이다.

이 때, $(18)$ 대신 단순히 $d\tau '=d\tau$를 얻고, 야코비 정리를 활용하면

$(19)$

$\left|{\frac {\partial x_{\sigma }'}{\partial x_{\mu }}}\right|=1$

을 얻는다. 따라서 이 좌표 선택을 통해, 행렬식이 $1$인 좌표 변환만이 허용된다.

하지만 이것이 일반 상대성의 가정을 일부 포기하는 것이라고 보는 것은 오류이다. 우리는 "행렬식이 $1$인 모든 변환에 대하여 공변적인 자연 법칙이 무엇일까?"를 묻는 게 아니라, "일반 공변적인 자연 법칙은 무엇인가?"를 묻는다. 우리는 이 법칙들을 구성한 뒤에야 특정한 기준계를 선택하여 그 표현을 단순화하게 된다.

근본 텐서를 이용한 새로운 텐서의 생성. 어떤 텐서에 근본 텐서의 내적, 외적, 혼합 곱셈을 하면 다른 특성과 랭크를 가진 텐서를 얻는다. 예를 들어,

$A^{\mu }=g^{\mu \sigma }A_{\sigma }$

$A=g_{\mu \nu }g^{\mu \nu }$

이다. 다음 형태

$A^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }A_{\alpha \beta }$

$A_{\mu \nu }=g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }A^{\alpha \beta }$

(각각 공변, 반변 텐서의 보수(Engänzung, Complement))와

$B_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }g^{\alpha \beta }A_{\alpha \beta }$

는 특별히 주목할 필요가 있다. $B_{\mu \nu }$는 $A_{\mu \nu }$의 유도 텐서라 부른다. 마찬가지로,

$B^{\mu \nu }=g^{\mu \nu }g_{\alpha \beta }A^{\alpha \beta }$

이다. $g^{\mu \nu }$는 $g_{\mu \nu }$의 보수에 지나지 않는다고 볼 수 있다. 왜냐하면

$g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }g_{\alpha \beta }=g^{\mu \alpha }\delta _{\alpha }^{\nu }=g^{\mu \nu }$

이기 때문이다.

§9. 측지선의 방정식 (및 점의 이동에 관한 방정식).

선소 $ds$는 좌표계에 독립적으로 정의되므로, 사차원 연속체 상의 두 점 $P_{1}$과 $P_{2}$를 이어 $\int ds$가 정적이도록 하는 선, 즉 측지선 또한 좌표계의 선택에 독립적인 의미를 지닌다. 그 방정식은

$(20)$

$\delta {\biggl \{}{\underset {P_{1}}{\overset {P_{2}}{\int }}}ds{\biggr \}}=0$

이다. 통상적인 방법으로 변분을 취하면 이 방정식으로부터 측지선을 정의하는 네 개의 미분 방정식을 얻는다. 완전성을 위해 그 계산 과정을 삽입하겠다. $\lambda$를 좌표 $x_{\nu }$의 함수라 하고, 이것을 통해 원하는 측지선과 그에 근접하여 점 $P_{1}$과 $P_{2}$를 연결하는 모든 선들이 통과하는 곡면 패밀리를 정의하자. 그러한 선들은 모두 그 좌표 $x_{\nu }$가 $\lambda$의 함수로 표현된다. $\delta$는 원하는 측지선의 각 점에서 동일한 $\lambda$에 대응하는 이웃한 선의 각 점으로 옮기는 것을 표현한다고 하자. 그런 다음 $(20)$을 다음과 같이 대체한다.

$(20a)$

$\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\underset {\lambda _{1}}{\overset {\lambda _{2}}{\int }}}\delta wd\lambda =0\\\\\displaystyle w^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx_{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx_{\nu }}{d\lambda }}\end{cases}}$

그런데

$\delta w={\frac {1}{w}}\left\{{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}{\frac {dx_{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx_{\nu }}{d\lambda }}\delta x_{\sigma }+g_{\mu \nu }{\frac {dx_{\mu }}{d\lambda }}\delta \left({\frac {dx_{\nu }}{d\lambda }}\right)\right\}$

이고

$\delta \left({\frac {dx_{\nu }}{d\lambda }}\right)={\frac {d\,\delta x_{\nu }}{d\lambda }}$

이므로, $(20a)$으로부터 부분적분을 취하면 다음을 얻는다.

$(20b)$

${\begin{cases}\displaystyle {\underset {\lambda _{1}}{\overset {\lambda _{2}}{\int }}}d\lambda \,\varkappa _{\sigma }\,\delta x_{\sigma }=0\\\displaystyle \varkappa _{\sigma }={\frac {d}{d\lambda }}\left\{{\frac {g_{\mu \sigma }}{w}}{\frac {dx_{\mu }}{d\lambda }}\right\}-{\frac {1}{2w}}{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}{\frac {dx_{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx_{\nu }}{d\lambda }}\end{cases}}$

이다. $\delta x_{\sigma }$의 값은 임의적이므로, $\varkappa _{\sigma }$는 사라진다. 이로부터

$(20c)$

$\varkappa _{\sigma }=0$

이 측지선의 방정식임을 얻는다. 측지선을 따라 $ds=0$이 되지 않는다면, 측지선을 따라 측정되는 "호의 길이" $s$로 매개변수 $\lambda$를 대체할 수 있다. 그러면 $w=1$이고, $(20c)$ 대신

$g_{\mu \sigma }{\frac {d^{2}x_{\mu }}{ds^{2}}}+{\frac {\partial g_{\mu \sigma }}{\partial x_{\nu }}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}=0$

또는 단순히 표기를 바꿈으로써

$(20d)$

$g_{\alpha \sigma }{\frac {d^{2}x_{\alpha }}{ds^{2}}}+\left[{\mu \nu \atop \sigma }\right]{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}=0$

을 얻는다. 크리스토펠(Christoffel)을 따라서,

$(21)$

$\left[{\mu \nu \atop \sigma }\right]={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{\mu \sigma }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \sigma }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}\right)$

라 두었다. 마지막으로, $(20d)$에 $g^{\sigma \tau }$를 곱하면($\tau$에 대하여 외적, $\sigma$에 대하여 내적), 측지선 방정식을 다음 형태로 얻게 된다.

$(22)$

${\frac {d^{2}x_{\tau }}{ds^{2}}}+\left\{{\mu \nu \atop \tau }\right\}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}=0$

역시 크리스토펠을 따라서

$(23)$

$\left\{{\mu \nu \atop \tau }\right\}=g^{\tau \alpha }\left[{\mu \nu \atop \alpha }\right]$

라 두었다.

§10. 미분을 통한 텐서의 구축.

측지선 방정식의 도움으로 우리는 텐서로부터 미분을 통해 새로운 텐서를 쉽게 만들어낼 수 있다. 이 목표는 다음의 단순한 법칙을 반복 적용하여 달성할 수 있다.

연속체에 한 곡선이 주어지면, 곡선 위의 점은 곡선 위의 고정된 점에서 잰 호의 길이 $s$로 특정되며, 더 나아가 $\varphi$가 공간 상의 불변 함수이면, $d\varphi /ds$ 또한 불변량이다. 그 증명은 $ds$와 $d\varphi$가 불변량이라는 데서 얻는다.

${\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\mu }}}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}$

이므로,

$\psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\mu }}}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}$

또한 불변량이면서 임의로 선택된 벡터 $dx_{\mu }$에 대하여, 연속체 위의 한 점에서 출발한 모든 곡선에 대한 불변량이다. 따라서, $\varphi$의 "그래디언트"

$(24)$

$A_{\mu }={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\mu }}}$

가 공변 $4$-벡터임을 바로 얻는다.

우리의 규칙에 따라서, 곡선 위에서 취한 미분몫

$\chi ={\frac {d\psi }{ds}}$

도 마찬가지로 불변량이다. $\psi$ 값을 대입하면, 먼저

$\chi ={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\mu }}}{\frac {d^{2}x_{\mu }}{ds^{2}}}$

를 얻는다. 이 식에서 당장 텐서를 유도할 수는 없다. 하지만 우리가 미분하려는 곡선이 측지선이라면, $(22)$의 ${\frac {d^{2}x_{\mu }}{ds^{2}}}$를 대입하여

$\chi =\left\{{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}-\left\{{\mu \nu \atop \tau }\right\}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\tau }}}\right\}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}$

를 얻는다. 미분의 순서를 바꿀 수 있고, $(23)$과 $(21)$로부터 $\left\{{\mu \nu \atop \tau }\right\}$가 $\mu$와 $\nu$에 대하여 대칭이므로, 괄호 안의 수식은 $\mu$와 $\nu$에 대하여 대칭이라는 결론을 얻는다. 측지선은 연속체 위의 점에서 아무런 방향으로나 그릴 수 있고, $dx_{\mu }/ds$는 그 성분의 비율이 임의적인 $4$-벡터이므로 §7의 결과로부터

$(25)$

$A_{\mu \nu }={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}-\left\{{\mu \nu \atop \tau }\right\}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\tau }}}$

가 랭크 $2$의 공변 텐서라는 결론을 얻는다. 따라서 다음 결과를 얻는다: 랭크 $1$의 공변 텐서

$A_{\mu }={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\mu }}}$

로부터 미분을 통해, 랭크 $2$의 공변 텐서

$(26)$

$A_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-\left\{{\mu \nu \atop \tau }\right\}A_{\tau }$

를 만들 수 있다. 텐서 $A_{\mu \nu }$를 텐서 $A_{\mu }$의 "확장"(공변 도함수)이라 부른다. 먼저, $A_{\mu }$가 그래디언트로 표현되지 않더라도 이 연산이 텐서를 만든다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 이를 위해서, 먼저 $\psi$와 $\varphi$가 스칼라일 때

$\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\mu }}}$

가 공변 벡터임을 확인한다. 이러한 항들로 이루어진 네 개의 합

$S_{\mu }=\psi ^{(1)}{\frac {\partial \varphi ^{(1)}}{\partial x_{\mu }}}+\cdot +\cdot +\psi ^{(4)}{\frac {\partial \varphi ^{(4)}}{\partial x_{\mu }}}$

또한, $\psi ^{(1)}\varphi ^{(1)}\cdot \cdot \cdot \psi ^{(4)}\varphi ^{(4)}$가 모두 스칼라일 때 공변 벡터이다. 그런데 모든 공변 벡터를 $S_{\mu }$의 꼴로 나타낼 수 있다는 것은 명백하다. $A_{\mu }$가 그 성분이 $x_{\nu }$에 대한 임의의 함수로 이루어진 벡터라면, 단순히 (선택된 좌표계에 대하여)

$\psi ^{(1)}=A_{1},\quad \varphi ^{(1)}=x_{1},$

$\psi ^{(2)}=A_{2},\quad \varphi ^{(2)}=x_{2},$

$\psi ^{(3)}=A_{3},\quad \varphi ^{(3)}=x_{3},$

$\psi ^{(4)}=A_{4},\quad \varphi ^{(4)}=x_{4}$

라 둠으로써 $S_{\mu }$를 $A_{\mu }$와 같게 할 수 있기 때문이다. 따라서, $A_{\mu }$의 우변에 임의의 공변 벡터가 대입되었을 때 $A_{\mu \nu }$가 텐서임을 보이려면, 벡터 $S_{\mu }$에 대해서만 증명하면 된다. 그런데 이 후자의 목적을 달성하는 데 있어서, $(26)$의 우변을 살펴보면

$A_{\mu }=\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\mu }}}$

의 경우에 대해서만 증명하면 된다는 것을 알 수 있다. 이제, $(25)$의 우변에 $\psi$를 곱하면,

$\psi {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}-\left\{{\mu \nu \atop \tau }\right\}\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\tau }}}$

는 텐서이다. 마찬가지로

${\frac {\partial \psi }{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}$

은 두 벡터를 외적한 것이므로, 텐서이다. 추가로,

${\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\mu }}}\right)-\left\{{\mu \nu \atop \tau }\right\}\left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\tau }}}\right)$

또한 텐서의 성질을 갖는다. $(26)$를 보면 알 수 있듯이, 이는 벡터

$\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\mu }}}$

에 대한 설명을 완성하며 이로부터 결과적으로, 임의의 벡터 $A_{\mu }$에 대한 것도 증명된다.

벡터의 확장을 이용하여, 임의의 랭크를 갖는 텐서의 "확장"을 쉽게 정의할 수 있다. 이 연산은 벡터의 확장을 일반화한 것이다. 논의를 랭크 $2$의 텐서에 대한 경우로 한정해도 충분하다.

이미 살펴보았듯이, 임의의 랭크 $2$ 공변 텐서는 $A_{\mu }B_{\nu }$로 표현되는 텐서들의 합으로 나타낼 수 있다.^[5] 따라서, 이 특수한 형태의 텐서의 확장만 살펴보면 충분하다. $(26)$에 의해 확장

${\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x_{\sigma }}}-\left\{{\sigma \mu \atop \tau }\right\}A_{\tau },$

${\frac {\partial B_{\nu }}{\partial x_{\sigma }}}-\left\{{\sigma \nu \atop \tau }\right\}B_{\tau }$

는 텐서이다. 첫번째 것을 $B_{\nu }$와 외적시키고 두번째 것을 $A_{\mu }$와 외적시키면, 각각에 대하여 랭크 $3$의 텐서를 얻는다. 이들을 더하면, 랭크 $3$의 텐서

$(27)$

$A_{\mu \nu \sigma }={\frac {\partial A_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}-\left\{{\sigma \mu \atop \tau }\right\}A_{\tau \nu }-\left\{{\sigma \nu \atop \tau }\right\}A_{\mu \tau }$

을 얻는다. 여기에서 $A_{\mu \nu }=A_{\mu }B_{\nu }$라 두었다. $(27)$의 우변은 $A_{\mu \nu }$와 그 도함수에 대하여 선형 동차이므로, 이 생성 규칙은 텐서를 만들며, 물론 $A_{\mu }B_{\nu }$ 형태의 텐서만이 아닌 그 합, 즉 임의의 랭크 $2$ 공변 텐서에 대해서도 성립한다. $A_{\mu \nu \sigma }$를 텐서 $A_{\mu \nu }$의 확장이라 부른다.

$(26)$과 $(24)$가 각각 랭크 $1$ 텐서와 랭크 $0$ 텐서라는 특수한 경우의 확만 다룬다는 것은 분명하다.

일반적으로, 텐서를 만드는 모든 특별한 규칙은 $(27)$과 텐서의 곱셈을 결합한 형태이다.

§11. 특별히 중요한 몇 가지 사례.

근본 텐서. 먼저, 앞으로 중요해지는 몇 가지 명제를 증명할 것이다. 행렬식의 곱셈 규칙에 의해

$(28)$

$dg=g^{\mu \nu }gdg_{\mu \nu }=-g_{\mu \nu }gdg^{\mu \nu }$

이다. 마지막은 두번째로부터 얻는데, $g_{\mu \nu }g^{\mu '\nu }=\delta _{\mu }^{\mu '}$이고 $g_{\mu \nu }g^{\mu \nu }=4$이므로

$g_{\mu \nu }dg^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }dg_{\mu \nu }=0$

이기 때문이다. $(28)$로부터,

$(29)$

${\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\sigma }}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial \log(-g)}{\partial x_{\sigma }}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}$

를 얻는다. 또한

$g_{\mu \sigma }g^{\nu \sigma }=\delta _{\mu }^{\nu }$

이므로, 미분하면

$(30)$

${\begin{cases}\displaystyle g_{\mu \sigma }dg^{\nu \sigma }=-g^{\nu \sigma }dg_{\mu \sigma }\\\\\displaystyle g_{\mu \sigma }{\frac {\partial g^{\nu \sigma }}{\partial x_{\lambda }}}=-g^{\nu \sigma }{\frac {\partial g_{\mu \sigma }}{\partial x_{\lambda }}}\end{cases}}$

이다. 이로부터, 각각을 $g^{\sigma \tau }$와 $g_{\nu \lambda }$로 혼합 곱셈을 취한 다음 첨수의 기호를 바꾸면

$(31)$

${\begin{cases}\displaystyle dg^{\mu \nu }=-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }dg_{\alpha \beta }\\\\\displaystyle {\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}=-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x_{\sigma }}}\end{cases}}$

$(32)$

${\begin{cases}\displaystyle dg_{\mu \nu }=-g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }dg^{\alpha \beta }\\\\\displaystyle {\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}=-g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }{\frac {\partial g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\sigma }}}\end{cases}}$

를 얻는다. 관계 $(31)$은 어떤 변환을 나타내며, 앞으로 자주 사용할 것이다. $(21)$로부터

$(33)$

${\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x_{\sigma }}}=\left[{\alpha \sigma \atop \beta }\right]+\left[{\beta \sigma \atop \alpha }\right]$

이고, 이것을 $(31)$의 두번째 공식에 삽입하면 $(23)$에 의해

$(34)$

${\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}=-\left(g^{\mu \tau }\left\{{\tau \sigma \atop \nu }\right\}+g^{\nu \tau }\left\{{\tau \sigma \atop \mu }\right\}\right)$

이다. $(29)$의 우변을 $(34)$로부터 대체하면

$(29a)$

${\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\sigma }}}=\left\{{\mu \sigma \atop \mu }\right\}$

가 도출된다.

반변 벡터의 "발산". 반변 근본 텐서 $g^{\mu \nu }$를 이용해 $(26)$의 내적을 취하면 우변은 첫번째 항을 변환했을 때 다음 형태

${\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}(g^{\mu \nu }A_{\mu })-A_{\mu }{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {1}{2}}g^{\tau \alpha }\left({\frac {\partial g_{\mu \alpha }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \alpha }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}\right)g^{\mu \nu }A_{\tau }$

를 취한다. $(31)$과 $(29)$에 따라서, 이 표현의 마지막 항은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\tau \nu }}{\partial x_{\nu }}}A_{\tau }+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\tau \mu }}{\partial x_{\mu }}}A_{\tau }+{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\alpha }}}g^{\tau \alpha }A_{\tau }$

더해지는 첨수의 기호는 의미가 없으므로, 이 표현의 첫 두 항을 그 위 표현의 두번째 항과 상쇄시킬 수 있다. 이제

$g^{\mu \nu }A_{\mu }=A^{\nu }$

라 쓰면, $A_{\mu }$처럼 $A^{\nu }$도 임의의 벡터이므로 마침내 다음을 얻는다.

$(35)$

$\Phi ={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}({\sqrt {-g}}A^{\nu })$

이 스칼라는 반변 벡터 $A^{\nu }$의 "발산"이다.

공변 벡터의 "회전". $(26)$의 두번째 항은 첨수 $\mu$와 $\nu$에 대하여 대칭적이다. 그러므로 $A_{\mu \nu }-A_{\nu \mu }$는 특별히 간단하게 구축된 반대칭 텐서이다. 즉 다음을 얻는다.

$(36)$

$B_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x_{\mu }}}$

$6$-벡터의 반대칭적 확장. $(27)$을 랭크 $2$의 반대칭 텐서 $A_{\mu \nu }$에 적용하고 첨수들의 순환 치환을 통해 두 방정식을 추가로 얻는다. 이 세 방정식을 더하면 랭크 $3$의 텐서

$(37)$

$B_{\mu \nu \sigma }=A_{\mu \nu \sigma }+A_{\nu \sigma \mu }+A_{\sigma \mu \nu }={\frac {\partial A_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}+{\frac {\partial A_{\nu \sigma }}{\partial x_{\mu }}}+{\frac {\partial A_{\sigma \mu }}{\partial x_{\nu }}}$

를 얻으며, 이것이 반대칭적임은 쉽게 증명할 수 있다.

$6$-벡터의 발산. $(27)$에 $g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }$로 혼합 곱셈을 취하면 텐서를 얻는다. $(27)$의 우변의 첫번째 항은

${\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }A_{\mu \nu })-g^{\mu \alpha }{\frac {\partial x^{\nu \beta }}{\partial x_{\sigma }}}A_{\mu \nu }-g^{\nu \beta }{\frac {\partial x^{\mu \alpha }}{\partial x_{\sigma }}}A_{\mu \nu }$

로 쓸 수 있다. $g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }A_{\mu \nu \sigma }$를 $A_{\sigma }^{\alpha \beta }$라 표시하고, $g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }A_{\mu \nu }$를 $A^{\alpha \beta }$라 표시한 다음 변형된 첫번째 항에서

${\frac {\partial g^{\nu \beta }}{\partial x_{\sigma }}}$ 와 ${\frac {\partial g^{\mu \alpha }}{\partial x_{\sigma }}}$

를 $(34)$로 주어진 값으로 바꾸면, $(27)$의 우변에서 $7$개의 항 중 $4$개가 상쇄되고,

$(38)$

$A_{\sigma }^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\alpha \beta }}{\partial x_{\sigma }}}+\left\{{\sigma \varkappa \atop \alpha }\right\}A^{\varkappa \beta }+\left\{{\sigma \varkappa \atop \beta }\right\}A^{\alpha \varkappa }$

를 얻는다. 이는 랭크 $2$ 반변 텐서의 확장을 표현한 것이며, 그 이상이나 이하의 랭크의 반변 텐서의 확장도 그에 대응되는 표현을 만들 수 있다.

비슷한 방법으로, 혼합 텐서의 확장 또한 만들 수 있다:

$(39)$

$A_{\mu \sigma }^{\alpha }={\frac {\partial A_{\mu }^{\alpha }}{\partial x_{\sigma }}}-\left\{{\sigma \mu \atop \tau }\right\}A_{\tau }^{\alpha }+\left\{{\sigma \tau \atop \alpha }\right\}A_{\mu }^{\tau }$

$(38)$을 첨수 $\beta$와 $\sigma$에 대하여 축약하면 ($\delta _{\beta }^{\sigma }$로 내적) 다음 벡터

$A^{\alpha }={\frac {\partial A^{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}+\left\{{\beta \varkappa \atop \beta }\right\}A^{\alpha \varkappa }-\left\{{\beta \varkappa \atop \alpha }\right\}A^{\varkappa \beta }$

를 얻는다. $\left\{{\beta \varkappa \atop \alpha }\right\}$의 첨수 $\beta$와 $\varkappa$에 대한 대칭성을 고려하면, $A^{\alpha \beta }$가 뒤에서 가정하듯 반대칭 텐서일 경우 우변의 세번째 항은 사라진다. 두번째 항은 그 자체로 $(29a)$에 맞추어 변형될 수 있다. 따라서

$(40)$

$A^{\alpha }={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial ({\sqrt {-g}}A^{\alpha \beta })}{\partial x^{\beta }}}$

를 얻는다. 이는 반변 $6$-벡터의 발산식이다.

랭크 $2$ 혼합 텐서의 발산. $(39)$를 첨수 $\alpha$와 $\sigma$에 대하여 축약한 다음 $(29a)$를 고려하면

$(41)$

${\sqrt {-g}}A_{\mu }={\frac {\partial ({\sqrt {-g}}A_{\mu }^{\sigma })}{\partial x_{\sigma }}}-\left\{{\sigma \mu \atop \tau }\right\}{\sqrt {-g}}A_{\tau }^{\sigma }$

를 얻는다. 반변 텐서 $A^{\varrho \sigma }=g^{\varrho \tau }A_{\tau }^{\sigma }$를 마지막 항에 도입하면, 이것은 다음 형태

$-\left[{\sigma \mu \atop \varrho }\right]{\sqrt {-g}}A^{\varrho \sigma }$

를 갖는다. 만약, 텐서 $A^{\varrho \sigma }$가 대칭이면, 이는

$-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}{\frac {\partial g_{\varrho \sigma }}{\partial x_{\mu }}}A^{\varrho \sigma }$

로 줄어든다. $A^{\varrho \sigma }$ 대신 공변 텐서 $A_{\varrho \sigma }=g_{\varrho \alpha }g_{\sigma \beta }A^{\alpha \beta }$를 도입할 경우, 이는 마찬가지로 대칭이므로 마지막 항은 $(31)$에 따라서

${\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}{\frac {\partial g^{\varrho \sigma }}{\partial x_{\mu }}}A_{\varrho \sigma }$

의 형태가 된다. 문제의 대칭성을 가정한다면, $(41)$은 따라서 다음 두 형태로 교체된다.

$(41a)$

${\sqrt {-g}}A_{\mu }={\frac {\partial ({\sqrt {-g}}A_{\mu }^{\sigma })}{\partial x_{\sigma }}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{\varrho \sigma }}{\partial x_{\mu }}}{\sqrt {-g}}A^{\varrho \sigma }$

$(41b)$

${\sqrt {-g}}A_{\mu }={\frac {\partial ({\sqrt {-g}}A_{\mu }^{\sigma })}{\partial x_{\sigma }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\varrho \sigma }}{\partial x_{\mu }}}{\sqrt {-g}}A_{\varrho \sigma }$

이 또한 나중에 사용될 것이다.

§12. 리만-크리스토펠 텐서.

이제 오직 근본 텐서만으로부터 미분으로 얻을 수 있는 텐서를 살펴보자. 언뜻 보기에 해법은 명확해 보인다. $(27)$에 임의로 주어진 텐서 $A_{\mu \nu }$ 대신 근본 텐서 $g_{\mu \nu }$를 대입하면, 말하자면 근본 텐서의 확장을 얻을 것이다. 하지만 이 확장은 언제나 사라진다는 것 또한 쉽게 알게 된다. 하지만 우리는 다음과 같은 방법으로 목표를 달성할 수 있다. $(27)$에

$A_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-\left\{{\mu \nu \atop \varrho }\right\}A_{\varrho }$

즉, $4$-벡터 $A_{\mu }$의 확장을 대입한다. 그러면 (첨수의 이름을 조금씩 바꾸어) 랭크 $3$의 텐서

$A_{\mu \sigma \tau }={\frac {\partial ^{2}A_{\mu }}{\partial x_{\sigma }\partial x_{\tau }}}-\left\{{\mu \sigma \atop \varrho }\right\}{\frac {\partial A_{\varrho }}{\partial x_{\tau }}}-\left\{{\mu \tau \atop \varrho }\right\}{\frac {\partial A_{\varrho }}{\partial x_{\sigma }}}-\left\{{\sigma \tau \atop \varrho }\right\}{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x_{\varrho }}}+\left[-{\frac {\partial }{\partial x_{\tau }}}\left\{{\mu \sigma \atop \varrho }\right\}+\left\{{\mu \tau \atop \alpha }\right\}\left\{{\alpha \sigma \atop \varrho }\right\}+\left\{{\sigma \tau \atop \alpha }\right\}\left\{{\alpha \mu \atop \varrho }\right\}\right]A_{\varrho }$

를 얻는다. 이 표현은 텐서 $A_{\mu \sigma \tau }-A_{\mu \tau \sigma }$를 만들어야 함을 시사한다. 만약 그렇게 하면 $A_{\mu \sigma \tau }$의 첫번째, 네번째, 대괄호 안의 마지막 항이 $A_{\mu \tau \sigma }$의 것을 상쇄시킨다. 이들은 첨수 $\sigma$와 $\tau$에 대하여 대칭이기 때문이다. 동일한 논리가 두번째 항과 세번째 항의 합에도 적용된다. 따라서 다음을 얻는다.

${\begin{array}{c}(42)\\\\(43)\end{array}}$

${\begin{cases}\displaystyle A_{\mu \sigma \tau }-A_{\mu \tau \sigma }=B_{\mu \sigma \tau }^{\varrho }A_{\varrho }\\\\\displaystyle B_{\mu \sigma \tau }^{\varrho }=-{\frac {\partial }{\partial x_{\tau }}}\left\{{\mu \sigma \atop \varrho }\right\}+{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\left\{{\mu \tau \atop \varrho }\right\}-\left\{{\mu \sigma \atop \alpha }\right\}\left\{{\alpha \tau \atop \varrho }\right\}+\left\{{\mu \tau \atop \alpha }\right\}\left\{{\alpha \sigma \atop \varrho }\right\}\end{cases}}$

이 결과의 핵심 요소는 $(42)$의 우변에서 $A_{\varrho }$만이 등장하고 그 도함수는 나타나지 않는다는 것이다. $A_{\mu \sigma \tau }-A_{\mu \tau \sigma }$의 텐서 성질 및, $A_{\varrho }$가 임의의 벡터라는 사실로부터, §7로 인해 $B_{\mu \sigma \tau }^{\varrho }$는 텐서라는 결론을 얻는다(리만-크리스토펠 텐서; Riemann-Christoffelscher Tensor).

이 텐서의 수학적 중요성은 다음과 같다. 만약 연속체가 $g_{\mu \nu }$가 상수가 되는 좌표계를 찾을 수 있는 성질의 것이라면, $B_{\mu \sigma \tau }^{\varrho }$는 사라진다. 새로운 임의의 좌표계를 도입하는 경우, 그에 대하여 $g_{\mu \nu }$는 상수가 아니게 되지만 텐서의 성질로 인해 $B_{\mu \sigma \tau }^{\varrho }$는 새로운 좌표계에서도 여전히 사라진다. 따라서 리만 텐서의 사라짐은 적당히 좌표계를 선택함으로써 $g_{\mu \nu }$가 상수가 되는 것의 필요 조건이다. 우리의 문제에서 이는 기준계를 잘 선택하여 연속체의 유한한 영역에서 특수 상대성이론이 성립하는 경우가 된다.^[6]

$(43)$을 첨수 $\tau$와 $\varrho$에 대하여 축약하면 랭크 $2$의 공변 텐서

$(44)$

$\displaystyle {\begin{cases}B_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }+S_{\mu \nu }\\\\\displaystyle R_{\mu \nu }=-{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left\{{\mu \nu \atop \alpha }\right\}+\left\{{\mu \alpha \atop \beta }\right\}\left\{{\nu \beta \atop \alpha }\right\}\\\\\displaystyle S_{\mu \nu }={\frac {\partial ^{2}\log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}-\left\{{\mu \nu \atop \alpha }\right\}{\frac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\alpha }}}\end{cases}}$

를 얻는다.

좌표의 선택에 관한 언급. §8에서 이미 살펴봤듯이, 방정식 $(18a)$과 함께 ${\sqrt {-g}}=1$이 되도록 좌표계를 선택하면 어떤 이점을 얻는다. 마지막 두 단락에서 얻은 방정식들은 그러한 선택으로부터 텐서의 변환 규칙에 대한 중요한 단순화를 얻을 수 있다는 것을 보여준다. 이는 특히 방금 얻은 텐서 $B_{\mu \nu }$에 해당되는데, 이 텐서는 앞으로 구축될 이론에서 근본적인 역할을 수행한다. 이렇게 좌표계의 선택을 제한함으로써 $S_{\mu \nu }$는 사라지고, $B_{\mu \nu }$는 $R_{\mu \nu }$로 바뀐다.

이러한 점을 고려하여 나는 앞으로 모든 관계들을 이러한 좌표 선택의 제한이 가져다주는 간단한 형태로 제시할 것이다. 이 경우, 필요할 때마다 일반 공변 방정식으로 바꾸는 것은 쉬운 일이다.

C. 중력장의 이론.

§13. 중력장에 놓인 질점의 운동 방정식. 중력장의 성분 표현.

외부 힘의 영향을 받지 않고 자유롭게 움직일 수 있는 물체는 특수 상대성이론에 따라서, 직선을 따라 균일하게 움직인다. 일반 상대성이론에 따르면, 4차원 공간의 어떤 영역에서 좌표계 $K_{0}$을 선택하여 $(4)$에서 주어진 특별한 상수값들을 가지게 했을 때에도 이는 마찬가지이다.

이 움직임을 임의로 선택한 좌표계 $K_{1}$에서 고려하면, 물체는 $K_{1}$에서 보았을 때 §2에서 살펴본대로 중력장 내에서 움직이게 된다. $K_{1}$에서 바라본 운동 법칙은 다음 고려사항으로부터 어렵지 않게 도출된다. $K_{0}$에서 운동 법칙은 $4$차원 직선, 즉 측지선에 대응된다. 이제 측지선은 기준계에 상관없이 정의되므로, 그 방정식은 $K_{1}$에 대한 질점의 운동 방정식이기도 하다.

$(45)$

$\Gamma _{\mu \nu }^{\tau }=-\left\{{\mu \nu \atop \tau }\right\}$

라 두면, $K_{1}$에 대한 점의 운동 방정식은

$(46)$

${\frac {d^{2}x_{\tau }}{ds^{2}}}=\Gamma _{\mu \nu }^{\tau }{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}$

이 된다. 이제, 이미 그 자체로 시사하듯이, 이 공변 방정식이 특수 상대성이론이 유한한 영역에서 성립하는 기준계 $K_{0}$이 존재하지 않는 경우에도 중력장에서의 점의 운동 방정식을 정의한다고 가정하자. $(46)$은 오로지 $g_{\mu \nu }$의 일계 미분만을 포함하므로, $K_{0}$이 존재하는 특별한 경우에도 그들 사이에는 아무런 관계가 없다는 데에서 보다 강한 근거를 찾을 수 있다.^[7]

만약 $\Gamma _{\mu \nu }^{\tau }$가 사라지면, 점은 직선을 따라 균일하게 운동한다. 따라서 이 양들은 운동의 균일성을 유지하지 못하게 만든다. 이것이 곧 중력장의 성분들이다.

§14. 물질이 없는 경우의 중력장 방정식.

이제부터 "중력장"과 "물질"을 구분할 때는, 중력장 자체를 제외한 모든 것을 "물질"이라 부르겠다. 따라서 우리가 사용하는 용어는 일반적 의미의 물질뿐 아니라, 전자기장도 포함된다. 다음 작업은 물질이 없을 때의 중력장 방정식을 찾는 것이다. 앞 절에서 질점의 운동 방정식을 구축하기 위해 사용된 방법을 다시 사용한다. 어떻게든 요구되는 방정식이 만족시켜야 하는 것은 특수 상대성 이론, 즉 $g_{\mu \nu }$가 어떤 상수 값을 갖는 경우를 포함하는 것이다. 어떤 유한한 공간에서 정해진 좌표계 $K_{0}$에 대하여 이것이 성립한다고 하자. 이 계에 대하여 리만 텐서의 모든 성분 $B_{\mu \sigma \tau }^{\varrho }$ [식 $(43)$]는 사라진다. 그러면, 고려하는 공간에서는 다른 어떤 좌표계에 대해서도 이 텐서가 사라진다. 따라서 물질이 없는 중력장에 대한 원하는 방정식은 어떤 형태로든 $B_{\mu \sigma \tau }^{\varrho }$가 사라질 경우 항상 성립해야 한다. 하지만 이 조건은 지나치다. 질점에 의해 주변에 만들어진 중력장은 명백히 어떤 좌표계를 선택하더라도 "변환되어 사라질 수" 없기 때문이다. 즉, $g_{\mu \nu }$가 상수가 되도록 할 수 없다. 이는 물질이 없는 중력장에서는 $B_{\mu \sigma \tau }^{\varrho }$로부터 유도된 대칭 텐서 $B_{\mu \nu }$가 사라지도록 해야 한다는 것을 시사한다. 이로써 우리는 $10$개의 $g_{\mu \nu }$에 대하여 모든 $B_{\mu \sigma \tau }^{\varrho }$가 사라지는 특별한 상황에서 만족되는 $10$개의 방정식을 얻는다. 좌표계에 대하여 우리가 가한 선택과 $(44)$를 고려하면, 물질이 없는 장의 방정식은 다음과 같다.

$(47)$

$\left\{{\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}+\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }=0\\\displaystyle {\sqrt {-g}}=1\end{array}}\right.$

이러한 방정식의 선택에 있어서 최소한의 자의성만이 있다는 것을 강조한다. $B_{\mu \nu }$를 제외하면 $g_{\mu \nu }$와 그 도함수로부터 만들어지고, $2$차를 넘는 도함수는 포함하지 않으며 도함수들에 대하여 선형인 랭크 $2$ 텐서는 없기 때문이다.^[8] 일반 상대성의 요구로부터 순수 수학적 방법으로 얻은 이 방정식은, 운동 방정식 $(46)$과 결합하여 $1$차 근사로 뉴턴의 만유인력 법칙을 제공하고 $2$차 근사로 르베리에(Le Verrier)가 발견한 행성 수성의 근일점의 운동(섭동에 대한 교정 후 남은 값)을 설명한다. 이 사실들이 이론의 물리적 타당성을 충분히 증명한다는 것이 나의 견해이다.

§15. 중력장에 대한 해밀턴 함수. 운동량-에너지 법칙.

장 방정식이 운동량-에너지 법칙을 따른다는 것을 보이기 위해서는, 그것을 다음 해밀토니언 형태로 쓰는 것이 가장 편리하다:

$(47a)$

$\left\{{\begin{array}{c}\displaystyle \delta \left\{\int Hd\tau \right\}=0\\\displaystyle H=g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }\\{\sqrt {-g}}=1\end{array}}\right.$

이 때, 고려하는 유한한 $4$차원 적분 영역의 경계에서는 변분이 사라진다.

먼저, $(47a)$의 형태가 방정식 $(47)$과 동등하다는 것을 보여야 한다. 이를 위해서 $H$를 $g^{\mu \nu }$와

$g_{\sigma }^{\mu \nu }\left(={\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}\right)$

의 함수로 간주한다. 그러면 우선

${\begin{aligned}\delta H&=\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }\delta g^{\mu \nu }+2g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\delta \Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }\\&=-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }\delta g^{\mu \nu }+2\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\delta \left(g^{\mu \nu }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }\right)\end{aligned}}$

이다. 그런데

$\delta \left(g^{\mu \nu }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }\right)=-{\frac {1}{2}}\delta \left[g^{\mu \nu }g^{\beta \lambda }\left({\frac {\partial g_{\nu \lambda }}{\partial x_{\alpha }}}+{\frac {\partial g_{\alpha \lambda }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \nu }}{\partial x_{\lambda }}}\right)\right]$

이다. 소괄호 안의 마지막 두 항으로부터 도출되는 항들은 반대 부호이고, 첨수 $\mu$와 $\beta$를 맞바꾸면 (합하는 첨수의 기호는 무의미하므로) 서로를 얻는다. 이들은 $\delta H$의 표현식에서 $\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }$가 곱해지므로 서로를 상쇄한다. 그러므로 고려하는 소괄호에서 첫번째 항만이 남고, $(31)$을 고려하면

$\delta H=-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }\delta g^{\mu \nu }+\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\delta g_{\alpha }^{\mu \beta }$

을 얻는다. 따라서

$(48)$

${\begin{cases}\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial g^{\mu \nu }}}=-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }\\\\\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial g_{\sigma }^{\mu \nu }}}=\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }\end{cases}}$

이다. $(47a)$에서 변분을 취하면, 먼저

$(47b)$

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial H}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial H}{\partial g^{\mu \nu }}}=0$

를 얻고, 이것은 $(48)$를 고려했을 때 $(47)$과 일치한다는, 원하는 결과를 얻는다.

$(47b)$에 $g_{\sigma }^{\mu \nu }$를 곱하면

${\frac {\partial g_{\sigma }^{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}={\frac {\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}$

이고, 그로부터

$g_{\sigma }^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial H}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g_{\sigma }^{\mu \nu }{\frac {\partial H}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial H}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}{\frac {\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}$

이므로 다음 방정식

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g_{\sigma }^{\mu \nu }{\frac {\partial H}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial H}{\partial x_{\sigma }}}=0$

또는

$(49)$

$\left\{{\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {\partial t_{\sigma }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}=0\\\displaystyle -2\varkappa t_{\sigma }^{\alpha }=g_{\sigma }^{\mu \nu }{\frac {\partial H}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}-\delta _{\sigma }^{\alpha }H\end{array}}\right.$

를 얻는다.^[9] $(48)$, $(47a)$의 두번째 방정식, $(34)$를 고려했을 때

$(50)$

$\varkappa t_{\sigma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}\delta _{\sigma }^{\alpha }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \beta }^{\lambda }\Gamma _{\nu \lambda }^{\beta }-g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }$

이다.

$t_{\sigma }^{\alpha }$는 텐서가 아니라는 것을 강조한다; 한편 $(49)$는 ${\sqrt {-g}}=1$인 모든 좌표계에 적용된다. 이 방정식은 중력장에 대한 운동량 및 에너지의 보존 법칙을 나타낸다. 실제로 이 방정식을 $3$차원 부피 $V$에 대하여 적분하면 $4$개의 방정식

$(49a)$

${\frac {d}{dx_{4}}}\left\{\int t_{\sigma }^{4}dV\right\}=\int (t_{\sigma }^{1}\alpha _{1}+t_{\sigma }^{2}\alpha _{2}+t_{\sigma }^{3}\alpha _{3})dS$

을 얻는데, $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$은 (유클리드 기하학에서의 의미 상) 경계 곡면의 면적소 $dS$로부터 안쪽으로 뻗은 방향의 방향코사인을 나타낸다. 우리는 이것을 보존 법칙이 통상적인 방식으로 표현된 것으로 본다. $t_{\sigma }^{\alpha }$를 중력장의 "에너지 성분"이라 부른다.

이제 방정식 $(47)$을 세번째 형태로 제시하려고 하는데, 이것은 우리의 주제를 생생하게 파악하는 데 있어서 특히 유용하다. 장 방정식 $(47)$에 $g^{\nu \sigma }$를 곱하면 "혼합 형태"를 얻는다.

$g^{\nu \sigma }{\frac {\partial \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}={\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\nu \sigma }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\right)-{\frac {\partial g^{\nu \sigma }}{\partial x_{\alpha }}}\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }$

임을 주목하자. 이 양은, $(34)$로 인해

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\nu \sigma }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\right)-g^{\nu \beta }\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }-g^{\sigma \beta }\Gamma _{\beta \alpha }^{\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }$

또는 (더해지는 첨수의 기호를 달리 적으면)

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\sigma \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\right)-g^{mn}\Gamma _{m\beta }^{\sigma }\Gamma _{n\mu }^{\beta }-g^{\nu \sigma }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }$

와 같다. 이 표현의 세번째 항은 장 방정식 $(47)$의 두번째 항에서 나오는 것과 상쇄된다; 관계 $(50)$를 사용하면, 두번째 항은

$\varkappa \left(t_{\mu }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\sigma }t\right)$

라 쓸 수 있다$(t=t_{\alpha }^{\alpha })$. 따라서 방정식 $(47)$ 대신

$(51)$

$\left\{{\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\sigma \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\right)=-\varkappa \left(t_{\mu }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\sigma }t\right)\\\displaystyle {\sqrt {-g}}=1\end{array}}\right.$

를 얻는다.

§16. 중력장 방정식의 일반형.

§15에서 구축된 물질이 없는 공간에서의 장 방정식은 뉴턴 이론의 장 방정식

$\Delta \varphi =0$

과 대응된다. 우리는 푸아송 방정식

$\Delta \varphi =4\pi \varkappa \varrho$

에 대응하는 방정식이 필요하며, 이 때 $\varrho$는 물질의 밀도이다.

특수 상대성 이론은 관성 질량이 에너지 이상도 이하도 아니라는 결론을 도출하며, 그 완전한 수학적 표현을 어떤 랭크 $2$의 대칭 텐서, 에너지 텐서(Energietensor)로부터 찾을 수 있다. 따라서 일반 상대성 이론에서 우리는 그에 상응하는 물질 에너지 텐서 $T_{\sigma }^{\alpha }$를 도입하고, 이것은 중력장의 에너지 성분 $t_{\sigma }^{\alpha }$ [방정식 $(49)$ 및 $(50)$]처럼 혼합 형태이지만 어떤 대칭 공변 텐서와 관련되어 있어야 한다.^[10]

방정식 $(51)$은 이 (푸아송 방정식의 $\varrho$에 대응하는) 에너지 텐서가 어떻게 중력장 방정식에 도입되어야 하는지를 보여준다. 한 완전한 계(e.g. 태양계)를 고려하면, 계의 총 질량 혹은 전체 중력 작용은 계의 총 에너지에 의존할 것이며, 따라서 질량이 있는 에너지와 중력 에너지의 합에 의존할 것이기 때문이다. 이것은 $(51)$에 중력장의 에너지 성분만 있던 것을 물질과 중력장의 에너지 성분의 합 $t_{\mu }^{\sigma }+T_{\mu }^{\sigma }$로 대체하는 방식으로 표현될 수 있다. 따라서 $(51)$ 대신 다음 텐서 방정식

$(52)$

$\left\{{\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\sigma \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\right)=-\varkappa \left[\left(t_{\mu }^{\sigma }+T_{\mu }^{\sigma }\right)-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\sigma }\left(t+T\right)\right]\\\\\displaystyle {\sqrt {-g}}=1\end{array}}\right.$

을 얻는다. 여기에서 $T=T_{\mu }^{\mu }$라 두었다(라우에 스칼라[Lauescher Skalar]). 이것이 원하는 일반적인 중력장 방정식의 혼합 형태이다. 더 나아가면, $(47)$ 대신

$(53)$

$\left\{{\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}+\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }=-\varkappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)\\\\\displaystyle {\sqrt {-g}}=1\end{array}}\right.$

을 얻는다.

물질 에너지 텐서의 이러한 도입이 상대성 원리만으로 정당화되지는 않는다. 이 때문에 우리는 중력에 있어서 중력장의 에너지가 다른 종류의 에너지와 같은 방식으로 작용한다는 요구를 통해 그것을 유도했다. 그러나 방정식의 이러한 선택에 대한 가장 강력한 이유는 그 결과, 즉 방정식 $(49)$와 $(49a)$에 정확히 대응하는 운동량-에너지 보존 방정식이 총 에너지 성분에 대하여 성립한다는 것에 있다. 이것은 §17에서 증명될 것이다.

§17. 일반적 경우에 대한 보존 법칙.

방정식 $(52)$는 그 자체로 우변의 두번째 항이 사라지도록 변형될 수 있다. $(52)$를 첨수 $\mu$와 $\sigma$에 대하여 축약한 다음, 거기에 ${\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\sigma }$를 곱한 결과를 $(52)$에서 빼자. 그 결과는

$(52a)$

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\sigma \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\sigma }g^{\lambda \beta }\Gamma _{\lambda \beta }^{\alpha }\right)=-\varkappa \left(t_{\mu }^{\sigma }+T_{\mu }^{\sigma }\right)$

이다. 이 방정식에 연산 $\partial /\partial x_{\sigma }$를 취한다. 그러면

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\sigma }}}\left(g^{\sigma \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\right)=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\sigma }}}\left[g^{\sigma \beta }g^{\alpha \lambda }\left({\frac {\partial g_{\mu \lambda }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\beta \lambda }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \beta }}{\partial x_{\lambda }}}\right)\right]$

소괄호 내의 첫번째, 세번째 항은 서로 소거되는 항을 도출하는데, 세번째 항의 결과에서 더해지는 첨수 $\alpha$와 $\sigma$, 및 $\beta$와 $\lambda$를 교체하면 확인할 수 있다. 두번째 항은 $(31)$로 형태를 바꿀 수 있으므로, 이로부터

$(54)$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\sigma }}}\left(g^{\sigma \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\right)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{3}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }\partial x_{\mu }}}$

를 얻는다. $(52a)$의 좌변에 있는 두번째 항에서는 우선

$-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\mu }}}\left(g^{\lambda \beta }\Gamma _{\lambda \beta }^{\alpha }\right)$

또는

${\frac {1}{4}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\mu }}}\left[g^{\lambda \beta }g^{\alpha \delta }\left({\frac {\partial g_{\delta \lambda }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\delta \beta }}{\partial x_{\lambda }}}-{\frac {\partial g_{\lambda \beta }}{\partial x_{\delta }}}\right)\right]$

를 얻는다. 우리가 정한 좌표계 선택에 대하여, 소괄호 내의 마지막 항에서 도출되는 항은 $(29)$에 의해 사라진다. 나머지 둘은 결합하여, $(31)$에 의해

$-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{3}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }\partial x_{\mu }}}$

를 도출한다. 즉, $(54)$를 고려하면 다음 항등식

$(55)$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\sigma }}}\left(g^{\sigma \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\sigma }g^{\lambda \beta }\Gamma _{\lambda \beta }^{\alpha }\right)\equiv 0$

을 얻는다. $(55)$와 $(52a)$로부터,

$(56)$

${\frac {\partial \left(t_{\mu }^{\sigma }+T_{\mu }^{\sigma }\right)}{\partial x_{\sigma }}}=0$

을 얻는다. 따라서, 우리의 중력장 방정식으로부터 운동량과 에너지의 보존 법칙이 성립한다는 결과를 얻는다. 이는 방정식 $(49a)$로 이어지는 흐름으로부터 가장 쉽게 이해할 수 있다; 다만 이 때는 중력장의 에너지 성분 $t_{\mu }^{\sigma }$ 대신, 물질과 중력장의 에너지 성분의 총합을 도입해야 한다.

§18. 장 방정식의 결과로서의 물질에 관한 운동량-에너지 법칙.

$(53)$에 $\partial g^{\mu \nu }/\partial x_{\sigma }$를 곱하면, §15에서 사용된 방법에 의해

$g_{\mu \nu }{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}$

가 사라지므로 방정식

$-{\frac {\partial t_{\sigma }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}T_{\mu \nu }=0$

혹은 $(56)$을 참고하면

$(57)$

${\frac {\partial T_{\sigma }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}T_{\mu \nu }=0$

을 얻는다.

$(41b)$와 비교하면 우리가 정한 좌표계 선택에 의해, 이 방정식은 단순히 물질 에너지-텐서의 발산이 사라진다는 의미이다. 물리적으로, 좌변의 두번째 항이 나타난 것은 운동량과 에너지의 보존 법칙이 엄밀한 의미에서 물질 단독에는 적용되지 않는다, 아니면 $g^{\mu \nu }$가 상수인 경우, 즉 중력장의 세기가 사라질 때에만 적용된다는 것을 보여준다. 이 두번째 항은 운동량 및 에너지가 단위 부피 및 시간 당 중력장에서 물질로 옮겨지는 양을 표현한 것이다. 이는 $(57)$을 $(41)$의 관점에서 다음과 같이 다시 썼을 때 보다 분명해진다.

$(57a)$

${\frac {\partial T_{\sigma }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}=-\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }T_{\alpha }^{\beta }$

우변은 중력장이 물질에 끼치는 영향을 표현한다.

따라서 중력장 방정식은 물질 현상의 과정을 지배하는 $4$개의 조건을 포함하고 있다. 만일 물질 현상의 방정식들이 서로 독립적인 $4$개의 미분 방정식으로 묘사될 수 있다면 전자는 후자를 온전히 부여하는 셈이다.^[11]

D. 물질 현상.

B 파트에서 구축한 수학적 도구들을 통해 우리는 곧바로 특수 상대성 이론으로 구축된 물질의 물리법칙들(유체역학, 맥스웰 전기역학)을 일반화하여 일반 상대성 이론에 어울리도록 할 수 있다. 이것을 마치고 나면 일반 상대성 원리는 가능성을 추가로 제한해주지는 않으며, 어떤 방식으로든 새로운 가설을 도입할 필요 없이 중력장이 모든 과정에 미치는 영향에 대해 숙지할 수 있도록 해준다.

따라서 (좁은 의미에서의) 물질의 물리적 본성에 관한 명시적인 가정을 도입할 필요가 없어진다. 특히 전자기장의 이론이 중력장의 이론과 만났을 때 물질의 이론에 대한 충분한 기반을 제공하는지에 대해서는 아직 열린 질문으로 남는다. 일반 상대성의 가정은 이것에 대하여 아무 것도 말해주지 못한다. 이론이 발전하는 동안 전자기학과 중력의 원칙이 결합하면 각자는 하지 못했던 것을 해낼 수 있을지는 앞으로 지켜봐야만 한다.

§19. 마찰이 없고 단열된 유체의 오일러 방정식.

두 스칼라 $p$와 $\varrho$를 도입하여 각각을 유체의 "압력"과 "밀도"라 하자; 또한 그들 사이에 어떤 방정식이 유효하다고 하자. 반변 대칭 텐서

$(58)$

$T^{\alpha \beta }=-g^{\alpha \beta }p+\varrho {\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}$

를 유체의 반변 에너지 텐서라 하자. 여기에는 공변 텐서

$(58a)$

$T_{\mu \nu }=-g_{\mu \nu }p+g_{\mu \alpha }{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}g_{\nu \beta }{\frac {dx_{\beta }}{ds}}\varrho$

와 혼합 텐서^[12]

$(58b)$

$T_{\sigma }^{\alpha }=-\delta _{\sigma }^{\alpha }p+g_{\sigma \beta }{\frac {dx_{\beta }}{ds}}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}\varrho$

가 대응된다. 이론에서 이들은 운동에 관한 문제의 완전한 해를 제공하는데, $4$개의 방정식 $(57a)$는 $p$와 $\varrho$ 사이에 주어진 방정식, 그리고 방정식

$g_{\alpha \beta }{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}=1$

과 함께, $g_{\alpha \beta }$가 주어졌다면 $6$개의 미지수

$p,\,\varrho ,\,{\frac {dx_{1}}{ds}},\,{\frac {dx_{2}}{ds}},\,{\frac {dx_{3}}{ds}},\,{\frac {dx_{4}}{ds}}$

를 결정하는 데 충분하기 때문이다. 만약 $g_{\alpha \beta }$ 또한 알려져 있지 않다면, 방정식 $(53)$이 도입된다. 이들은 $10$개의 함수 $g_{\mu \nu }$를 결정하는 $11$개의 방정식으로, 이들 함수는 과하게 정의된 것으로 보인다. 그러나, 방정식 $(57a)$는 이미 방정식 $(53)$ 안에 포함되어 있으므로 후자는 오직 $7$개의 독립적인 방정식만을 나타낸다는 것을 명심해야 한다. 이렇게 정의가 부족한 데에는 좋은 이유가 있는데, 좌표 선택의 넓은 자유도는 문제가 수학적으로 $3$개의 공간 함수가 자유롭게 선택될 수 있을 만큼의 여지가 남아 있도록 하기 위한 것이다.^[13]

§20. 자유 공간에서의 맥스웰 전자기장 방정식.

$\varphi _{\nu }$를 어떤 공변 벡터, 즉 전자기 퍼텐셜 벡터의 성분이라 하자. 이로부터 $(36)$에 근거하여 전자기장의 공변 $6$-벡터의 성분 $F_{\varrho \sigma }$를 다음과 같이 구성한다.

$(59)$

$F_{\varrho \sigma }={\frac {\partial \varphi _{\varrho }}{\partial x_{\sigma }}}-{\frac {\partial \varphi _{\sigma }}{\partial x_{\varrho }}}$

$(59)$로부터 다음 방정식계

$(60)$

${\frac {\partial F_{\varrho \sigma }}{\partial x_{\tau }}}+{\frac {\partial F_{\sigma \tau }}{\partial x_{\varrho }}}+{\frac {\partial F_{\tau \varrho }}{\partial x_{\sigma }}}=0$

가 성립하는데, 여기에서 좌변은 $(37)$에 의해, 랭크 $3$의 반대칭 텐서이다. 계 $(60)$은 따라서 본질적으로 네 개의 방정식을 담고 있으며 다음과 같이 쓸 수 있다.

$(60a)$

${\begin{cases}\displaystyle {\frac {\partial F_{23}}{\partial x_{4}}}+{\frac {\partial F_{34}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial F_{42}}{\partial x_{3}}}=0\\\\\displaystyle {\frac {\partial F_{34}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{41}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial F_{13}}{\partial x_{4}}}=0\\\\\displaystyle {\frac {\partial F_{41}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial F_{12}}{\partial x_{4}}}+{\frac {\partial F_{24}}{\partial x_{1}}}=0\\\\\displaystyle {\frac {\partial F_{12}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial F_{23}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{31}}{\partial x_{2}}}=0\end{cases}}$

이 계는 맥스웰의 두번째 방정식계에 대응된다. 이는 다음과 같이 둠으로써 한눈에 알아볼 수 있다.

$(61)$

${\begin{cases}\displaystyle F_{23}={\mathfrak {h}}_{x}\quad F_{14}={\mathfrak {e}}_{x}\\\\\displaystyle F_{31}={\mathfrak {h}}_{y}\quad F_{24}={\mathfrak {e}}_{y}\\\\\displaystyle F_{12}={\mathfrak {h}}_{z}\quad F_{34}={\mathfrak {e}}_{z}\end{cases}}$

이제 $(60a)$ 대신 $3$차원 벡터 해석의 통상적인 표기법을 사용하면

$(60b)$

${\begin{cases}\displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {h}}}{\partial t}}+{\text{rot}}\,{\mathfrak {e}}=0\\\\\displaystyle {\text{div}}\,{\mathfrak {h}}=0\end{cases}}$

라 둘 수 있다.

첫번째 맥스웰계는 민코프스키가 도입한 형태를 일반화하면 얻을 수 있다. $F_{\alpha \beta }$와 연관된 반변 $6$-벡터

$(62)$

$F^{\mu \nu }=g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }$

와 전류 밀도를 나타내는 공변 벡터 $J^{\mu }$를 도입한다. 그러면, $(40)$을 고려했을 때 다음 방정식

$(63)$

${\frac {\partial F^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}=J^{\mu }$

은 행렬식이 $1$인 임의의 변환(우리가 정한 좌표계 선택을 기준으로)에 대하여 불변일 것이다. 여기에

$(64)$

${\begin{cases}\displaystyle F^{23}={\mathfrak {h}}_{x}'\quad F^{14}=-{\mathfrak {e}}_{x}'\\\\\displaystyle F^{31}={\mathfrak {h}}_{y}'\quad F^{24}=-{\mathfrak {e}}_{y}'\\\\\displaystyle F^{12}={\mathfrak {h}}_{z}'\quad F^{34}=-{\mathfrak {e}}_{z}'\end{cases}}$

라 두자. 이 양들은 제한된 상대성 이론의 특수한 경우에 ${\mathfrak {h}}_{x}...{\mathfrak {e}}_{z}$와 같다. 추가로

$J^{1}={\mathfrak {i}}_{x},\quad J^{2}={\mathfrak {i}}_{y},\quad J^{3}={\mathfrak {i}}_{z},\quad J^{4}=\varrho$

라 둔다. 이제 $(63)$ 대신

$(63a)$

${\begin{cases}\displaystyle {\text{rot}}\,{\mathfrak {h}}'-{\frac {\partial {\mathfrak {e}}'}{\partial t}}={\mathfrak {i}}\\\\\displaystyle {\text{div}}\,{\mathfrak {e}}'=\varrho \end{cases}}$

를 얻는다.

방정식 $(60),(62),(63)$은 따라서 빈 공간에서의 맥스웰 장 방정식에 대한 (편의상 좌표계 선택에 대한) 일반화를 형성한다.

전자기장의 에너지 성분. 다음 내적

$(65)$

$\varkappa _{\sigma }=F_{\sigma \mu }J^{\mu }$

를 구성하자. $(61)$에 의해 그 성분은, $3$차원의 관점에서 적었을 때

$(65a)$

${\begin{cases}\displaystyle \varkappa _{1}=\varrho {\mathfrak {e}}_{x}+[{\mathfrak {i,\,h}}]_{x}\\\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\\\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\,\cdot \,\\\displaystyle \varkappa _{4}=-({\mathfrak {i,\,e}})\end{cases}}$

가 된다.

$\varkappa _{\sigma }$는 어떤 공변 벡터로서 그 성분은 각각 음수 운동량 혹은 에너지가 전기적 물체로부터 전자기장으로 단위 시간 혹은 부피 당 옮겨지는 양과 같다. 전기적 물체들이 오직 전자기장의 영향만을 받는 자유 물체라면, 공변 벡터 $\varkappa _{\sigma }$는 사라진다.

전자기장의 에너지 성분 $T_{\sigma }^{\nu }$를 구하기 위해서는 단지 방정식 $\varkappa _{\sigma }=0$을 방정식 $(57)$의 형태로 표현하기만 하면 된다. $(63)$과 $(65)$로부터 먼저

$\varkappa _{\sigma }=F_{\sigma \mu }{\frac {\partial F^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}(F_{\sigma \mu }F^{\mu \nu })-F^{\mu \nu }{\frac {\partial F_{\sigma \mu }}{\partial x_{\nu }}}$

를 얻는다. 우변의 두번째 항은 $(60)$에 의해 다음과 같이 변형할 수 있다.

$F^{\mu \nu }{\frac {\partial F_{\sigma \mu }}{\partial x_{\nu }}}=-{\frac {1}{2}}F^{\mu \nu }{\frac {\partial F_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}=-{\frac {1}{2}}g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }{\frac {\partial F_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}$

후자의 표현은 대칭성에 의해서, 또한 다음의 형태로 쓸 수 있다.

$-{\frac {1}{4}}\left[g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }{\frac {\partial F_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}+g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\frac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x_{\sigma }}}F_{\mu \nu }\right]$

그런데 이에 대해서는 다음과 같이 둘 수 있다.

$-{\frac {1}{4}}{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }F_{\mu \nu })+{\frac {1}{4}}F_{\alpha \beta }F_{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta })$

이 중 첫번째 항은 보다 간단하게

$-{\frac {1}{4}}{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })$

라 쓸 수 있다. 두번째 항은, 미분을 수행하고 몇몇 정리를 하면

$-{\frac {1}{2}}F^{\mu \tau }F_{\mu \nu }g^{\nu \varrho }{\frac {\partial g_{\varrho \tau }}{\partial x_{\sigma }}}$

가 된다. 세 항을 모두 고려하면 다음 관계를 얻는다.

$(66)$

$\varkappa _{\sigma }={\frac {\partial T_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {1}{2}}g^{\tau \mu }{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}T_{\tau }^{\nu }$

여기에서

$(66a)$

$T_{\sigma }^{\nu }=-F_{\sigma \alpha }F^{\nu \alpha }+{\frac {1}{4}}\delta _{\sigma }^{\nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }$

이다.

방정식 $(66)$은, 만약 $\varkappa _{\sigma }$가 사라지면, $(30)$에 의해 각각 $(57)$ 또는 $(57a)$와 동등하다. 따라서 $T_{\sigma }^{\nu }$가 전자기장의 에너지 성분이다. $(61)$과 $(64)$의 도움을 받아, 특수 상대성 이론의 경우에서 이 전자기장의 에너지 성분들은 잘 알려진 맥스웰-포인팅[Maxwell-Poyntingschen] 표현을 나타낸다는 것을 쉽게 관찰할 수 있다.

이제 우리는 중력장과 물질에 의해 만족되는 일반 법칙들을, ${\sqrt {-g}}=1$인 좌표계를 일관적으로 사용하면서 유도하였다. 이 조건을 통해 공식과 계산을 상당 수준 압축하면서도, 일반 공변성의 요구를 깨지 않을 수 있었다. 우리의 방정식들은 일반 공변 방정식들을 좌표계를 특수화한 것으로부터 유도한 것이기 때문이다.

그럼에도, 이에 상응하는 중력장과 물질의 에너지 성분의 일반화된 정의로부터, (좌표계를 제한하지 않고서도) 방정식 $(56)$의 형태를 갖는 보존법칙을 구성할 수 있는지, 그리고 중력장 방정식이 $(52)$ 또는 $(52a)$와 같은 특징을 가져서 좌변에서는 (일반적 의미의) 발산을 얻고, 우변은 물질과 중력의 에너지 성분의 합을 나타낼 수 있도록 구성할 수 있는지라는 형식적 흥미에 관해서는 질문하지 않을 수 없다. 나는 두 경우 모두 가능하다는 것을 확인했다. 하지만 이 주제에 대한 약간은 장황해지는 설명이 크게 의미있다고 생각하지는 않는다. 어쨌거나 이들은 실질적으로 새로운 것을 아무것도 제공해주지 않기 때문이다.

E.

§21. 일차 근사로서의 뉴턴 이론.

여러 차례 언급했듯이, 특수 상대성 이론을 일반 이론의 특수한 경우로 보았을 때, 이는 $g_{\mu \nu }$가 $(4)$의 상수 값을 가지는 경우로 특정된다. 이미 언급된 사항으로부터, 이는 중력의 영향을 완전히 무시했다는 것을 의미한다. 우리는 $g_{\mu \nu }$가 $(4)$의 값과 비교하여 $1$보다 작은 양만큼 다르고, $2$ 혹은 그 이상의 차수를 갖는 차이는 무시한 경우를 고려함으로써 현실에 보다 가까운 근사에 도달하게 된다. (근사의 첫번째 관점)

또한, 고려하는 시공간 영역에서 $g_{\mu \nu }$는 공간 상으로 무한대에서, 적절한 좌표를 선택하면 $(4)$로 수렴한다고 가정한다. 즉, 우리는 고려하는 중력장이 유한한 영역 내의 물질에 의해서만 만들어졌다고 가정하는 것이다.

이러한 근사가 반드시 뉴턴 이론으로 이어져야 한다고 생각할 수 있다. 하지만 그것을 위해 우리는 추가로 두번째 관점에서 근본 방정식들을 근사시켜야 한다. 방정식 $(16)$에 따른 질점의 운동에 주목하자. 특수 상대성 이론의 경우에 성분

${\frac {dx_{1}}{ds}},\,\,{\frac {dx_{2}}{ds}},\,\,{\frac {dx_{3}}{ds}}$

은 임의의 값을 가질 것이다. 이는 속력

$v={\sqrt {\left({\frac {dx_{1}}{dx_{4}}}\right)^{2}+\left({\frac {dx_{2}}{dx_{4}}}\right)^{2}+\left({\frac {dx_{3}}{dx_{4}}}\right)^{2}}}$

이 임의적으로 (진공에서 빛의 속력보다 작은 값으로) 발생할 수 있음을 의미한다. 만약 거의 완전히 우리의 경험에만 의존하여, $v$가 빛의 속력에 비해 작은 경우$(v<1)$로 제한하면, 이는 성분

${\frac {dx_{1}}{ds}},\,\,{\frac {dx_{2}}{ds}},\,\,{\frac {dx_{3}}{ds}}$

들을 작은 양으로, $dx_{4}/ds$는 $2$차 범위에서 $1$로 다룰 수 있게 됨을 의미한다. (근사의 두번째 관점)

이제 근사의 첫번째 관점으로부터 $\Gamma _{\mu \nu }^{\tau }$의 크기가 모두 적어도 $1$차 범위에서 작다는 것을 주목한다. 따라서 $(46)$을 살펴보면 이 방정식에서, 근사의 두번째 관점에 의해, $\mu =\nu =4$인 항만 고려해야 한다는 것을 알 수 있다. 가장 낮은 차수의 항으로 제한하면 $(46)$ 대신 방정식

${\frac {d^{2}x_{\tau }}{dt^{2}}}=\Gamma _{44}^{\tau }$

를 얻는다. 여기에서 $ds=dx_{4}=dt$라 둔다. 혹은 근사의 첫번째 관점에 근거해 $1$차 범위의 항만을 고려하면,

${\begin{cases}\displaystyle {\frac {d^{2}x_{\tau }}{dt^{2}}}=\left[{44 \atop \tau }\right]\quad (\tau =1,2,3)\\\\\displaystyle {\frac {d^{2}x_{4}}{dt^{2}}}=-\left[{44 \atop 4}\right]\end{cases}}$

이다. 추가로 중력장을 생성하는 물질의 운동이 (빛의 전파 속력에 비해) 느린 경우에 한정하여 중력장이 거의 정적인 장이라고 가정하면, 우변에서 공간에 대한 미분에 비교했을 때 시간에 대한 미분을 무시할 수 있다. 따라서

$(67)$

${\frac {d^{2}x_{\tau }}{dt^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{44}}{\partial x_{\tau }}}\quad (\tau =1,2,3)$

을 얻는다. 이것은 뉴턴의 이론에 기반한 질점의 운동 방정식이며, 여기에서 $g_{44}/2$는 중력 퍼텐셜의 역할을 한다. 이 결과에서 주목할만한 것은 $1$차 근사로는 근본 텐서에서 $g_{44}$ 성분만이 질점의 운동을 결정짓는다는 것이다.

이제 장 방정식 $(53)$를 살펴보자. 여기에서 우리는 "물질"의 에너지 텐서가 거의 완전하게 좁은 의미에서의 물질의 밀도(즉, $(58)$의 우변의 두번째 항 [또는, $(58a)$나 $(58b)$의 그것])에 의해서만 결정된다는 것을 고려해야 한다. 문제의 근사를 취하면,

$T_{44}=\varrho =T$

하나를 제외한 모든 성분이 사라진다. $(53)$의 좌변에서 두번째 항은 $2$차의 작은 양이다. 첫번째 항은, 문제의 근사에 대하여

$+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left[{\mu \nu \atop 1}\right]+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left[{\mu \nu \atop 2}\right]+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left[{\mu \nu \atop 3}\right]-{\frac {\partial }{\partial x_{4}}}\left[{\mu \nu \atop 4}\right]$

가 된다. $\mu =\nu =4$에 대하여, 이는 시간에 대하여 미분된 항을 제외했을 때

$-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{44}}{\partial x_{1}^{\,\,2}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{44}}{\partial x_{2}^{\,\,2}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{44}}{\partial x_{3}^{\,\,2}}}\right)=-{\frac {1}{2}}\Delta g_{44}$

가 된다. $(53)$의 마지막 항은 따라서

$(68)$

$\Delta g_{44}=\varkappa \varrho$

가 된다. 방정식 $(67)$과 $(68)$은 함께 뉴턴의 중력 법칙과 동치이다.

$(67)$과 $(68)$에 의해 중력 퍼텐셜의 표현은

$(68a)$

$-{\frac {\varkappa }{8\pi }}\int {\frac {\varrho d\tau }{r}}$

가 된다. 한편 뉴턴 이론에서는, 우리가 선택한 시간 단위에 대하여

$(68b)$

$-{\frac {K}{c^{2}}}\int {\frac {\varrho d\tau }{r}}$

이다. 여기에서 $K$는 보통 중력 상수라 불리는 상수 $6.7\times 10^{-8}$을 의미한다. 둘을 비교하면

$(69)$

$\varkappa ={\frac {8\pi K}{c^{2}}}=1.87\times 10^{-27}$

를 얻는다.

§22. 정적인 중력장에서의 막대와 시계의 거동. 빛의 굴절. 행성 궤도 근일점의 운동.

$1$차 근사로 뉴턴 이론에 도달하기 위해 우리는 $10$ 개의 중력장 성분 $g_{\mu \nu }$ 중 단 하나, $g_{44}$만 계산하면 되었는데, 중력장에 놓인 질점의 운동 방정식의 $1$차 근사 $(67)$에는 오직 이 성분만 들어갔기 때문이다. 그러나 이 식으로부터 $g_{\mu \nu }$의 다른 성분들이 $(4)$에서 주어진 값과 $1$차의 작은 값만큼 차이난다는 것은 이미 분명해졌다. 이는 $g=-1$ 조건에 의해 요구된다.

원점에서 장을 형성하는 점질량에 대하여, $1$차 근사로 방사상으로 대칭인 해

$(70)$

${\begin{cases}\displaystyle g_{\varrho \sigma }=-\delta _{\varrho \sigma }-\alpha {\frac {x_{\varrho }x_{\sigma }}{r^{3}}}\quad (\varrho ,\sigma =1,2,3)\\\\\displaystyle g_{\varrho 4}=g_{4\varrho }=0\quad (\varrho =1,2,3)\\\\\displaystyle g_{44}=1-{\frac {\alpha }{r}}\end{cases}}$${\displaystyle }$

를 얻는다. 여기에서 $\delta _{\varrho \sigma }$는 $\varrho =\sigma$ 또는 $\varrho \neq \sigma$일 때 각각 $1$ 또는 $0$이며, $r$은

$+{\sqrt {x_{1}^{\,\,2}+x_{2}^{\,\,2}+x_{3}^{\,\,2}}}$

이다. $(68a)$를 고려하면, $M$이 장을 생성하는 질량이라고 했을 때

$(70a)$

$\alpha ={\frac {\varkappa M}{4\pi }}$

이다. 장 방정식이 (질량 외부에서) $1$차 범위의 작은 값에 대하여 만족됨은 쉽게 확인할 수 있다.

이제 질량 $M$이 만든 장이 공간의 측지적 성질에 미치는 영향을 살펴본다. "국소적으로" (§4) 정의된 거리 및 시간 $ds$와 좌표의 차이 $dx_{\mu }$ 사이에는 언제나 관계

$ds^{2}=g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu }$

가 성립한다.

예를 들어, $x$ 축에 나란하게 측정된 $1$ 거리 단위의 경우

$ds^{2}=-1\,\,;\,\,dx_{2}=dx_{3}=dx_{4}=0$

이라 두어야 하며, 따라서

$-1=g_{11}dx_{1}^{\,\,2}$

이다. 만약 이에 더하여 이 단위 거리가 $x$ 축 위에 놓여 있다면, $(70)$의 첫번째 방정식에 의해

$g_{11}=-\left(1+{\frac {\alpha }{r}}\right)$

이다. 이 두 관계로부터, $1$차 근사에 한해서

$(71)$

$dx=1-{\frac {\alpha }{2r}}$

가 유도된다. 단위 측정 막대는 따라서, 이 좌표계에 대하여 반지름을 따라 놓여 있다면 중력장의 존재에 의해 약간 짧아진 것으로 나타난다.

동일한 방식으로 접선 방향의 좌표의 길이를 구하면, 예를 들어

$ds^{2}=-1\,\,;\,\,dx_{1}=dx_{3}=dx_{4}=0\,\,;\,\,x_{1}=r,x_{2}=x_{3}=0$

라 두면 그 결과는

$(71a)$

$-1=g_{22}dx_{2}^{\,\,2}=-dx_{2}^{\,\,2}$

이다. 따라서 접선 상으로는 질점의 중력장은 막대의 길이에 영향을 주지 않는다.

그러므로, 하나의 동일한 막대를 위치와 방향에 상관없이 같은 길이로 두려고 할 경우 유클리드 기하학은 중력장 내에서 $1$차 근사로도 성립하지 않는다. 다만, $(70a)$와 $(69)$를 살펴보면 지구 표면에서 측정으로 감지되기에는 기대되는 차이가 매우 작다는 사실도 분명하다.

더 나아가, 정적 중력장에 정지해 있다고 가정한 기준 시계의 흐름에 대해 살펴보자. 이 때 시간 간격은

$ds=1\,\,;\,\,dx_{1}=dx_{2}=dx_{3}=0$

이므로

$1=g_{44}dx_{4}^{\,\,2};$

$dx_{4}={\frac {1}{\sqrt {g_{44}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(g_{44}-1)}}}=1-{\frac {g_{44}-1}{2}}$

또는

$(72)$

$dx_{4}=1+{\frac {\varkappa }{8\pi }}\int {\frac {\varrho d\tau }{r}}$

이다. 따라서 질량 근처에 놓인 시계는 더 느리게 흐른다. 이로부터 거대한 별의 표면에서 날아온 빛의 스펙트럼 선은 적색 이동을 겪어야 한다는 결론을 얻는다.^[14]

이제 정적 중력장에 놓인 광선의 경로를 살펴보자. 특수 상대성 이론에 의해 빛의 속력은 다음 방정식

$-dx_{1}^{\,\,2}-dx_{2}^{\,\,2}-dx_{3}^{\,\,2}+dx_{4}^{\,\,2}=0$

으로 주어지고, 따라서 일반 상대성 이론에 따라 다음 방정식

$ds^{2}=g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu }=0\quad ...(73)$

과 같다. 만약 방향, 즉 비율 $dx_{1}:dx_{2}:dx_{3}$이 주어지면 방정식 $(73)$은

${\frac {dx_{1}}{dx_{4}}},\,{\frac {dx_{2}}{dx_{4}}},\,{\frac {dx_{3}}{dx_{4}}}$

과 그에 따라 유클리드 기하학의 방법으로 정의된 속력

${\sqrt {\left({\frac {dx_{1}}{dx_{4}}}\right)^{2}+\left({\frac {dx_{2}}{dx_{4}}}\right)^{2}+\left({\frac {dx_{3}}{dx_{4}}}\right)^{2}}}=\gamma$

를 제공한다. 우리는 좌표계의 $g_{\mu \nu }$가 상수가 아니라면 광선의 경로가 반드시 그에 대하여 꺾여야 한다는 것을 쉽게 알 수 있다. $n$이 빛의 진행에 수직인 방향이면, 하위헌스 원리[Huygenssche Prinzip]는 평면 $(\gamma ,n)$ 상에서 광선이 $-d\gamma /dn$의 곡률을 가져야 함을 알려준다.

광선이 $M$으로부터 $\Delta$만큼 떨어진 거리를 통과하면서 겪게되는 곡률을 살펴보자. 삽입된 도표에 맞게 좌표계를 선택하면, 광선의 총 굴절량(원점을 향해 오목하면 양수로 계산한다.)은 충분한 근사로

$B={\underset {-\infty }{\overset {+\infty }{\int }}}{\frac {\partial \gamma }{\partial x_{1}}}dx_{2}$

와 같이 주어지는 한편, $(73)$과 $(70)$에 의해

$\gamma ={\sqrt {-{\frac {g_{44}}{g_{22}}}}}=1-{\frac {\alpha }{2r}}\left(1+{\frac {x_{2}^{\,\,2}}{r^{2}}}\right)$

로 주어진다. 계산을 수행하면

$(74)$

$B={\frac {2\alpha }{\Delta }}={\frac {\varkappa M}{2\pi \Delta }}$

가 도출된다. 이에 따르면, 태양을 통과하는 광선은 $1.7''$ 만큼 꺾이게 된다. 그리고 행성 목성을 통과한 광선의 경우 $0.02''$가 된다.

보다 높은 차수로 중력장을 계산하고, 그에 상응하는 정밀도로 상대적으로 무한히 작은 질량에 대한 질점의 궤도 운동을 계산하면 행성 운동의 케플러-뉴턴 법칙[Kepler-Newtonschen Gesetzen]으로부터 다음과 같은 형태의 차이를 얻게 된다. 행성의 타원 궤도는 운동 방향으로 느리게 회전하게 되며, 그 양은 한바퀴 당

$(75)$

$\varepsilon =24\pi ^{3}{\frac {a^{2}}{T^{2}c^{2}(1-e^{2})}}$

과 같다. 이 공식에서 $a$는 장반축을, $c$는 통상 단위의 빛의 속력을, $e$는 이심률을, $T$는 회전 주기를 초로 나타낸 것이다.^[15]

행성 수성에 대하여 계산할 경우 백년 당 $43''$만큼 궤도가 회전한다는 결과가 나오며, 이는 천문학적 관측 결과(르베리에[Le Verrier])와 정확히 일치한다. 천문학자들은 이 행성의 근일점의 이동량에서 다른 행성들의 교란으로 설명할 수 없는 주어진 크기의 나머지를 발견했다.

(1916년 3월 20일 제출됨.)

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1. 물론 어떤 설명이 인식론적 관점에서 만족스럽더라도 다른 경험과 충돌한다면, 그것은 물리적으로는 부적절하다고 해야할 것이다.
2. 외트뵈시(Eötvös)는 중력장이 높은 정확도로 이러한 성질을 갖는다는 것을 실험적으로 증명하였다.
3. 우리는 공간 상에서 바로 근접해 있는, 또는 더 정확히 말하자면 시공간 상에서 바로 근접해 있거나 일치하는 경우의 사건에 대해서는 "동시성"을 입증할 수 있다고 가정하며, 이 근본적 개념에 대해서는 특별한 정의를 내리지 않는다.
4. 시간 단위는 이 "국소적" 좌표계에서 진공 광속이 1이 되도록 한다.
5. 임의의 성분 $A_{11},A_{12},A_{13},A_{14}$를 갖는 벡터와 $1,0,0,0$ 성분을 갖는 벡터를 외적하면,

   ${\begin{matrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}}$

   를 성분으로 갖는 텐서를 얻는다. 이러한 텐서 네 개를 결합하면 임의의 성분을 갖는 텐서 $A_{\mu \nu }$를 얻을 수 있다.

6. 수학자들은 이것이 충분 조건이기도 함을 증명하였다.
7. 오직 이계 (및 일계) 미분 사이에서만, §12에 따라서 $B_{\mu \sigma \tau }^{\varrho }=0$이라는 관계가 존재한다.
8. 정확히 말하면, 이 조건을 만족시키는 텐서는 $B_{\mu \nu }+\lambda g_{\mu \nu }(g^{\alpha \beta }B_{\alpha \beta })$ 로 특정된다. 이 때 $\lambda$는 어떤 상수이다. 하지만 이것을 $0$이라 두면, 다시 방정식 $B_{\mu \nu }=0$을 얻게 된다.
9. $-2\varkappa$를 도입한 이유는 이후 분명해진다.
10. $g_{\alpha \tau }T_{\sigma }^{\alpha }=T_{\sigma \tau }$와 $g^{\sigma \beta }T_{\sigma }^{\alpha }=T^{\alpha \beta }$는 대칭 텐서이다.
11. 이 문제에 관해서는 D. Hilbert, Nachr. d. K. Gesellsch. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Klasse, 1915, p. 395(위키문헌)를 참조하라.
12. 무한히 작은 영역에서 특수 상대성 이론과 맞는 좌표계를 사용하고 그와 함께 움직이는 관찰자에게 있어서, 에너지 밀도 $T_{4}^{4}$는 $\varrho -p$와 같다. 이는 $\varrho$를 정의한다. 따라서 $\varrho$는 비압축성 유체에 대하여 상수가 아니다.
13. 좌표계 선택 $g=-1$을 버리면, 선택의 자유에 $4$개의 공간 함수가 남으며, 이는 좌표계의 선택에 있어서 우리가 원하는 $4$개의 임의적인 함수에 대응된다.
14. E. 프로인틀리히[E. Freundlich]에 따르면 특정 종류의 항성에 대한 분광학적 관측 결과는 이러한 종류의 효과가 실재한다는 것을 보여주지만, 이 결과에 대한 결정적 실험은 아직 수행되지 않았다.
15. 이 계산에 대해서는 출처 논문을 인용한다: A. Einstein. Sitzungsber. d. Preuss. Akad. d. Wiss., 1915, p. 831; K. Schwarzschild, ibid., 1916, p.189.