물리학의 기초: 첫번째 발표

물리학의 기초

첫번째 발표

Die Grundlagen der Physik (Erste Mitteilung)

다비트 힐베르트
David Hilbert

1915년 11월 20일 회의에서 제출됨.

아인슈타인[Albert Einstein]^[1]의 거대한 문제와 이를 해결하기 위해 그가 고안한 독창적인 방법, 그리고 미에[Gustav Mie]^[2]가 전기동역학(Electrodynamics)을 구축하는 데 바탕을 둔 심오한 발상과 독창적인 개념화는 물리학의 기초에 관한 연구에 새로운 길을 열었다.

앞으로, 나는 (공리적 방법에 입각하여) 두 간단한 공리를 바탕으로 새로운 물리학의 기본 방정식들의 체계를 세울 것이며, 내가 믿기에는, 이들은 아인슈타인과 미에의 문제에 대한 해답을 동시에 담고 있다. 보다 자세한 설명, 특히 내 기본 방정식들의 전기 이론의 근본적인 질문들에 대한 특수한 적용에 대해서는 다음 발표를 위해 남겨둘 것이다.

세계점[Weltpunkte]의 이름을 명확하게 지정하는 임의의 좌표 $w_{s}\,(s=1,2,3,4)$를 가정하여, 세계 변수[Weltparameter](가장 일반적인 시공간 좌표)라 하자. $w_{s}$에서 일어나는 일들을 특징짓는 변수들은 다음과 같다:

1) 아인슈타인이 처음 도입한 $10$개의 중력 퍼텐셜 $g_{\mu \nu }\,(\mu ,\nu =1,2,3,4)$, 세계 변수 $w_{s}$의 임의의 변환에 대한 대칭 텐서의 성질을 가짐.

2) 동일한 방식의 텐서 성질을 갖는 $4$개의 전기역학적 퍼텐셜 $q_{s}$.

물리적 사건은 임의적이지 않으며, 다음 두 개의 공리가 적용된다:

공리 I (미에의 세계 함수에 관한 공리^[3]): 물리적 사건들의 법칙은 어떤 세계 함수 $H$에 의해 결정되며, 다음의 독립 변수들을 포함한다:

${\begin{aligned}\displaystyle &g_{\mu \nu },\,\,g_{\mu \nu l}={\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial w_{l}}},\,\,g_{\mu \nu lk}={\frac {\partial ^{2}g_{\mu \nu }}{\partial w_{l}\partial w_{k}}},\quad \quad \quad \quad ...(1)\\\displaystyle &q_{s},\,\,\,\,q_{sl}={\frac {\partial q_{s}}{\partial w_{l}}}\quad \quad \quad \quad \quad (l,k=1,2,3,4)\quad \,...(2)\end{aligned}}$

또한, 다음 적분의 변분은 각 $14$ 개의 퍼텐셜 $g_{\mu \nu },\,q_{s}$에 대하여 사라져야 한다.

$\int H{\sqrt {g}}\,d\omega$

$(g=|g_{\mu \nu }|,\,\,d\omega =dw_{1}\,dw_{2}\,dw_{3}\,dw_{4})$

명백히, 독립 변수 $(1)$ 대신 다음 변수

$g^{\mu \nu },\quad g_{l}^{\mu \nu }={\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial w_{l}}},\quad g_{lk}^{\mu \nu }={\frac {\partial ^{2}g^{\mu \nu }}{\partial w_{l}\partial w_{k}}}\quad ...(3)$

또한 사용할 수 있다. 여기에서 $g^{\mu \nu }$는 원소 $g_{\mu \nu }$에 대하여 그 소행렬식을 행렬식 $g$로 나눈 것이다.

공리 II (일반 불변성의 공리^[4]) : 세계 함수 $H$는 세계 변수 $w$의 임의의 변환에 대하여 불변이다.

공리 II는 퍼텐셜 $g_{\mu \nu },\,q_{s}$의 연속성이 그 자체로 세계 변수로 세계점의 이름을 붙이는 방식에 완전히 독립적이라는 요구에 대한 가장 간단한 수학적 표현이다.

내 이론의 구조에 있어서 가장 중심이 되는 사상은 다음 수학적 정리로 주어지며, 그 증명은 다른 시점에 제공하겠다.

정리 I. $J$가 네 세계 변수의 임의의 변환에 대하여 불변이라면, 그것이 $n$개의 양과 그 도함수를 담고 있을 경우, 이 양들에 대하여 라그랑지언 변분 방정식

$\delta \int J{\sqrt {g}}d\omega =0$

를 만들면 이 불변 미분 방정식계 내부에서 $4$개는 반드시 $n-4$개의 나머지의 결과가 되는데, $n$개의 미분 방정식과 그 전미분에 대하여 언제나 $4$개의 서로 독립적인 선형 결합이 항등적으로 만족되기 때문이다.

$(4)$와 차후의 공식들에 나타나는 $g^{\mu \nu },\,g_{k}^{\mu \nu },\,g_{kl}^{\mu \nu }$에 대한 미분몫을 고려했을 때, 최종적으로 말하자면 한편으로는 $\mu ,\,\nu$에 대한 대칭성 때문에, 그리고 다른 한편으로는 $k,\,l$에 대한 대칭성으로 인해 $g^{\mu \nu },\,g_{k}^{\mu \nu }$에 대한 미분몫은 $\mu =\nu$ 혹은 $\mu \neq \nu$이냐에 따라서 각각 $1$ 또는 ${\frac {1}{2}}$이 곱해져야 하며, $g_{kl}^{\mu \nu }$에 대한 미분몫은 ($\mu =\nu$이고 $k=l$)일 때 $1$이 곱해지고, ($\mu =\nu$이고 $k\neq l$)일 때 ${\frac {1}{2}}$이 곱해지고, ($\mu \neq \nu$ 이고 $k=l$)일 때 ${\frac {1}{4}}$이 곱해져야 한다. ($\mu \neq \nu$ 이고 $k\neq l$)은 불가능하다.

공리 I로 인해, $10$개의 중력 퍼텐셜 $g^{\mu \nu }$에 대하여 $10$개의 라그랑지언 미분 방정식

${\frac {\partial {\sqrt {g}}\,H}{\partial g^{\mu \nu }}}-\sum _{k}{\frac {\partial }{\partial w_{k}}}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,H}{\partial g_{k}^{\mu \nu }}}+\sum _{k,\,l}{\frac {\partial ^{2}}{\partial w_{k}\partial w_{l}}}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,H}{\partial g_{kl}^{\mu \nu }}}=0,\quad (\mu ,\nu =1,2,3,4)\quad ...(4)$

을 얻는다. 또한 $4$개의 전기동역학 퍼텐셜 $q_{s}$에 대하여 $4$개의 라그랑지언 미분 방정식

${\frac {\partial {\sqrt {g}}\,H}{\partial q_{h}}}-\sum _{k}{\frac {\partial }{\partial w_{k}}}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,H}{\partial q_{hk}}}=0,\quad (h=1,2,3,4)\quad ...(5)$

을 얻는다.

간결성을 위해, 우리는 방정식 $(4),(5)$의 좌변을

$[{\sqrt {g}}\,H]_{\mu \nu },\quad [{\sqrt {g}}\,H]_{h}$

라 쓴다.

방정식 $(4)$는 중력의 기본 방정식이라 부르고, 방정식 $(5)$는 전기동역학의 기본 방정식 또는 일반화된 맥스웰 방정식이라 부를 수 있다. 앞서 제기된 정리로 인해, $4$개의 방정식 $(5)$는 방정식 $(4)$의 결과로 볼 수 있다. 즉, 이 수학적 정리로 인해, 우리는 즉시 설명된 방식대로, 전기동역학적 현상은 중력의 결과라고 말할 수 있다. 이러한 통찰에서 나는 처음으로 중력과 빛의 연관에 대해 이론적으로 탐구한 리만의 문제에 대한 간단하고도 매우 놀라운 해법을 발견했다.

다음에서 우리는 쉽게 입증할 수 있는 다음 사실을 사용한다: $p^{j}\,\,(j=1,2,3,4)$가 임의의 반변 벡터를 나타내면, 표현식

$p^{\mu \nu }=\sum _{s}(g_{s}^{\mu \nu }p^{s}-g^{\mu s}p_{s}^{\nu }-g^{\nu s}p_{s}^{\mu }),\quad \left(p_{s}^{j}={\frac {\partial p^{j}}{\partial w_{s}}}\right)$

는 대칭 반변 텐서를, 표현식

$p_{l}=\sum _{s}(q_{ls}p^{s}+q_{s}p_{l}^{s})$

는 공변 벡터를 나타낸다.

두 개의 수학적 정리를 더 도입하자. 이들은 다음과 같다:

정리 II. $J$가 $g^{\mu \nu },\,g_{l}^{\mu \nu },\,g_{lk}^{\mu \nu },\,q_{s},\,q_{sk}$에 의존하는 불변량이면, 모든 독립변수와 모든 임의의 반변 벡터 $p^{s}$에 대하여 언제나 다음 항등식이 성립한다.

$\sum _{\mu ,\,\nu ,\,l,\,k}\left({\frac {\partial J}{\partial g^{\mu \nu }}}\Delta g^{\mu \nu }+{\frac {\partial J}{\partial g_{l}^{\mu \nu }}}\Delta g_{l}^{\mu \nu }+{\frac {\partial J}{\partial g_{lk}^{\mu \nu }}}\Delta g_{lk}^{\mu \nu }\right)+\sum _{s,\,k}\left({\frac {\partial J}{\partial q_{s}}}\Delta q_{s}+{\frac {\partial J}{\partial q_{sk}}}\Delta q_{sk}\right)=0$

여기에서

${\begin{aligned}\Delta g^{\mu \nu }&=\sum _{m}(g^{\mu m}p_{m}^{\nu }+g^{\nu m}p_{m}^{\mu })\\\Delta g_{l}^{\mu \nu }&=-\sum _{m}g_{m}^{\mu \nu }\,p_{l}^{m}+{\frac {\partial \Delta g^{\mu \nu }}{\partial w_{l}}}\\\Delta g_{lk}^{\mu \nu }&=-\sum _{m}(g_{m}^{\mu \nu }p_{lk}^{m}+g_{lm}^{\mu \nu }p_{k}^{m}+g_{km}^{\mu \nu }p_{l}^{m})+{\frac {\partial ^{2}\Delta g^{\mu \nu }}{\partial w_{l}\partial w_{k}}}\\\\\Delta q_{s}&=-\sum _{m}q_{m}p_{s}^{m}\\\Delta q_{sk}&=-\sum _{m}q_{sm}p_{k}^{m}+{\frac {\partial \Delta q_{s}}{\partial w_{k}}}\end{aligned}}$

이다.

이 정리 II는 다음처럼도 진술할 수 있다: 앞에서처럼 만약 $J$가 불변량이고 $p^{s}$가 임의의 벡터이면, 다음 항등식이 성립한다.

$\sum _{s}{\frac {\partial J}{\partial w_{s}}}p^{s}=PJ\quad ...(6)$

여기에서

$P=P_{g}+P_{q},$

${\begin{aligned}\displaystyle P_{g}&=\sum _{\mu ,\,\nu ,\,l,\,k}\left(p^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial g^{\mu \nu }}}+p_{l}^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial g_{l}^{\mu \nu }}}+p_{lk}^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial g_{lk}^{\mu \nu }}}\right)\\\displaystyle P_{q}&=\sum _{l,\,k}\left(p_{l}{\frac {\partial }{\partial q_{l}}}+p_{lk}{\frac {\partial }{\partial q_{lk}}}\right)\end{aligned}}$

라 놓고 다음 축약을 적용하였다:

$p_{k}^{\mu \nu }={\frac {\partial p^{\mu \nu }}{\partial w_{k}}},\quad p_{kl}^{\mu \nu }={\frac {\partial ^{2}p^{\mu \nu }}{\partial w_{k}\partial w_{l}}},\quad p_{lk}={\frac {\partial p_{l}}{\partial w_{k}}}$

$(6)$의 증명은 쉽다; 이 항등식은 상수 벡터가 있다면 명백히 참이고, 그 불변성 때문에 일반적으로 참이 된다.

정리 III. $J$가 $g^{\mu \nu }$와 그 도함수에만 의존하는 불변량이고, 위에서처럼 ${\sqrt {g}}\,J$의 $g^{\mu \nu }$에 관한 변분 도함수를 $[{\sqrt {g}}\,J]_{\mu \nu }$라 쓰면, ($h^{\mu \nu }$를 어떤 반변 텐서로 이해했을 때) 표현식

${\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{\mu ,\,\nu }[{\sqrt {g}}\,J]_{\mu \nu }h^{\mu \nu }$

는 불변량을 나타낸다. 이 합에서 $h^{\mu \nu }$의 자리에 특별한 텐서 $p^{\mu \nu }$를 삽입하고

$\sum _{\mu ,\,\nu }\left[{\sqrt {g}}\,J\right]_{\mu \nu }p^{\mu \nu }=\sum _{s,\,l}(i_{s}p^{s}+i_{s}^{l}p_{l}^{s})$

라 쓰자. 여기에서 표현식

${\begin{array}{rr}i_{s}=&\displaystyle \sum _{\mu ,\,\nu }[{\sqrt {g}}\,J]_{\mu \nu }g_{s}^{\mu \nu }\\i_{s}^{l}=&\displaystyle -2\sum _{\mu }[{\sqrt {g}}\,J]_{\mu s}g^{\mu l}\end{array}}$

은 오로지 $g^{\mu \nu }$와 그 도함수에만 의존한다. 그러면

$i_{s}=\sum _{l}{\frac {\partial i_{s}^{l}}{\partial w_{l}}}\quad ...(7)$

는 모든 독립변수, 즉 $g^{\mu \nu }$와 그 도함수에 대하여 항등식이다.

이를 증명하기 위해, $4$차원 세계의 유한한 영역에 걸친 적분

$\int J{\sqrt {g}}\,d\omega ,\quad d\omega =dw_{1}dw_{2}dw_{3}dw_{4}$

를 고려한다. 또한, $p^{s}$는 해당 영역의 $3$차원 표면에서 도함수와 함께 사라지는 벡터여야 한다. $P=P_{g}$이므로, 다음 장의 마지막 공식으로부터

$P_{g}({\sqrt {g}}\,J)=\sum _{s}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,Jp^{s}}{\partial w_{s}}}$

를 얻는다. 이는

$\int P_{g}\left(J{\sqrt {g}}\right)d\omega =0$

을 제공하며, 라그랑지언 도함수가 만들어지는 방식으로 인해,

$\int \sum _{\mu ,\,\nu }\left[{\sqrt {g}}\,J\right]_{\mu \nu }p^{\mu \nu }d\omega =0$

또한 그러하다. 이 항등식에 $i_{s},\,i_{s}^{l}$를 도입하면 궁극적으로

$\int \left(\sum _{l}{\frac {\partial i_{s}^{l}}{\partial w_{l}}}-i_{s}\right)p^{s}d\omega =0$

과 함께 우리의 정리가 참이라는 것을 보여준다.

이제 가장 중요한 목표는 두 공리 I과 II만을 이용하여 에너지의 개념을 정의하고 에너지 정리를 유도하는 것이다.

이를 위해, 먼저 다음을 만든다:

$P_{g}({\sqrt {g}}\,H)=\sum _{\mu ,\,\nu ,\,k,\,l}\left({\frac {\partial {\sqrt {g}}\,H}{\partial g^{\mu \nu }}}p^{\mu \nu }+{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,H}{\partial g_{k}^{\mu \nu }}}p_{k}^{\mu \nu }+{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,H}{\partial g_{kl}^{\mu \nu }}}p_{kl}^{\mu \nu }\right)$

이제 ${\frac {\partial H}{\partial g_{kl}^{\mu \nu }}}$는 랭크 $4$의 혼합 텐서이므로,

${\begin{aligned}A_{k}^{\mu \nu }&=p_{k}^{\mu \nu }+\sum _{\varrho }\left(\left\{{k\varrho \atop \mu }\right\}p^{\varrho \nu }+\left\{{k\varrho \atop \nu }\right\}p^{\varrho \mu }\right)\\\\\left\{{k\varrho \atop \mu }\right\}&={\frac {1}{2}}\sum _{\sigma }g^{\mu \sigma }\left(g_{k\sigma \varrho }+g_{\varrho \sigma k}-g_{k\varrho \sigma }\right)\end{aligned}}$

로 대체하면 표현식

$a^{l}=\sum _{\mu ,\,\nu ,\,k}{\frac {\partial H}{\partial g_{kl}^{\mu \nu }}}A_{k}^{\mu \nu }\quad ...(8)$

는 반변 벡터가 된다.

따라서 표현식

$P_{g}({\sqrt {g}}\,H)-\sum _{l}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,a^{l}}{\partial w_{l}}}$

을 만들면, 이는 더 이상 이계 도함수 $p_{kl}^{\mu \nu }$를 포함하지 않으며, 따라서

${\sqrt {g}}\sum _{\mu ,\,\nu ,\,k}\left(B_{\mu \nu }p^{\mu \nu }+B_{\mu \nu }^{k}p_{k}^{\mu \nu }\right)$

의 형태를 갖는다. 여기에서

$B_{\mu \nu }^{k}=\sum _{\varrho ,\,l}\left({\frac {\partial H}{\partial g_{k}^{\mu \nu }}}-{\frac {\partial }{\partial w_{l}}}{\frac {\partial H}{\partial g_{kl}^{\mu \nu }}}-{\frac {\partial H}{\partial g_{kl}^{\varrho \nu }}}\left\{{l\mu \atop \varrho }\right\}-{\frac {\partial H}{\partial g_{kl}^{\mu \varrho }}}\left\{{l\nu \atop \varrho }\right\}\right)$

는 다시 혼합 텐서이다.

이제 벡터

$b^{l}=\sum _{\mu ,\,\nu }B_{\mu \nu }^{l}p^{\mu \nu }\quad ...(9)$

를 만들면

$P_{g}({\sqrt {g}}\,H)-\sum _{l}{\frac {\partial {\sqrt {g}}(a^{l}+b^{l})}{\partial w_{l}}}=\sum _{\mu ,\,\nu }[{\sqrt {g}}H]_{\mu \nu }p^{\mu \nu }\quad ...(10)$

를 얻는다.

한편

$P_{q}({\sqrt {g}}\,H)=\sum _{k,\,l}\left({\frac {\partial {\sqrt {g}}\,H}{\partial q_{k}}}p_{k}+{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,H}{\partial q_{kl}}}p_{kl}\right)$

를 만든다. 그러면 ${\frac {\partial H}{\partial q_{kl}}}$는 텐서이고 표현식

$e^{l}=\sum _{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{kl}}}p_{k}\quad ...(11)$

는 따라서 한 반변 벡터를 나타낸다. 그러므로, 위에서처럼

$P_{q}({\sqrt {g}}\,H)-\sum _{l}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,e^{l}}{\partial w_{l}}}=\sum _{k}[{\sqrt {g}}\,H]_{k}p_{k}\quad ...(12)$

이다.

이제 기본 방정식 $(4)$와 $(5)$를 고려하여 $(10)$과 $(12)$를 더하면,

$P({\sqrt {g}}\,H)=\sum _{l}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,(a^{l}+b^{l}+c^{l})}{\partial w_{l}}}$

을 얻는다. 이 때

${\begin{aligned}\displaystyle P({\sqrt {g}}\,H)&={\sqrt {g}}\,PH+H\sum _{\mu ,\,\nu }{\frac {\partial {\sqrt {g}}}{\partial g^{\mu \nu }}}\,p^{\mu \nu }\\&={\sqrt {g}}\,PH+H\sum _{s}\left({\frac {\partial {\sqrt {g}}}{\partial w_{s}}}\,p^{s}+{\sqrt {g}}\,p_{s}^{s}\right)\end{aligned}}$

이고 항등식 $(6)$에 의해

$P({\sqrt {g}}\,H)={\sqrt {g}}\,\sum _{s}{\frac {\partial H}{\partial w_{s}}}\,p^{s}+H\sum _{s}\left({\frac {\partial {\sqrt {g}}}{\partial w_{s}}}p^{s}+{\sqrt {g}}\,p_{s}^{s}\right)=\sum _{s}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,Hp^{s}}{\partial w_{s}}}$

이다. 따라서 우리는 마침내 불변 방정식

$\sum _{l}{\frac {\partial }{\partial w_{l}}}{\sqrt {g}}\,(Hp^{l}-a^{l}-b^{l}-c^{l})=0$

을 얻는다. 이제

${\frac {\partial H}{\partial q_{lk}}}-{\frac {\partial H}{\partial q_{kl}}}$

가 반대칭 반변 텐서임을 고려하면, 결과적으로

$d^{l}={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}\sum _{k,\,s}{\frac {\partial }{\partial w_{k}}}\left\{\left({\frac {\partial {\sqrt {g}}\,H}{\partial q_{lk}}}-{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,H}{\partial q_{kl}}}\right)p^{s}q_{s}\right\}\quad ...(13)$

는 반변 벡터가 되며 명백히 항등식

$\sum _{l}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,d^{l}}{\partial w_{l}}}=0$

를 충족시킨다.

이제

$e^{l}=Hp^{l}-a^{l}-b^{l}-c^{l}-d^{l}\quad ...(14)$

을 에너지 벡터로 정의하면, 에너지 벡터는 여전히 임의의 벡터 $p^{s}$에 선형적으로 의존하는 반변 벡터이며 벡터 $p^{s}$를 임의로 선택했을 때 항등적으로 불변 에너지 방정식

$\sum _{l}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,e^{l}}{\partial w_{l}}}=0$

을 만족시킨다.

세계 함수 $H$에 관한 한, 그것의 선택을 분명하게 하기 위해서는 추가적인 공리가 필요하다. 만약 중력 방정식이 퍼텐셜 $g^{\mu \nu }$의 이계도함수만을 포함하려면, $H$는 다음과 같은 형태를 가져야 한다.

$H=K+L$

여기에서 $K$는 리만 텐서로부터 나오는 불변량($4$차원 다양체의 곡률)

$K=\sum _{\mu ,\,\nu }g^{\mu \nu }K_{\mu \nu },$

$K_{\mu \nu }=\sum _{\varkappa }\left({\frac {\partial }{\partial w_{\nu }}}\left\{{\mu \varkappa \atop \varkappa }\right\}-{\frac {\partial }{\partial w_{\varkappa }}}\left\{{\mu \nu \atop \varkappa }\right\}\right)+\sum _{\varkappa ,\,\lambda }\left(\left\{{\mu \varkappa \atop \lambda }\right\}\left\{{\lambda \nu \atop \varkappa }\right\}-\left\{{\mu \nu \atop \lambda }\right\}\left\{{\lambda \varkappa \atop \varkappa }\right\}\right)$

를 의미하고, $L$은 $g^{\mu \nu },\,g_{l}^{\mu \nu },q_{s},q_{sk}$에만 의존한다. 마지막으로, 이제부터는 단순화를 위해 $L$이 $g_{l}^{\mu \nu }$를 포함하지 않는다고 가정한다.

이제 정리 II를 불변량 $L$에 적용하면

$\sum _{\mu ,\,\nu ,\,m}{\frac {\partial L}{\partial g^{\mu \nu }}}(g^{\mu m}p_{m}^{\nu }+g^{\nu m}p_{m}^{\mu })-\sum _{s,\,m}{\frac {\partial L}{\partial q_{s}}}q_{m}p_{s}^{m}-\sum _{s,\,k,\,m}{\frac {\partial L}{\partial q_{sk}}}\left(q_{sm}p_{k}^{m}+q_{mk}p_{s}^{m}+q_{m}p_{sk}^{m}\right)=0\quad ...(15)$

을 얻는다. 좌변에서 $p_{sk}^{m}$의 계수를 $0$으로 놓으면 방정식

$\left({\frac {\partial L}{\partial q_{sk}}}+{\frac {\partial L}{\partial q_{ks}}}\right)q_{m}=0$

또는

${\frac {\partial L}{\partial q_{sk}}}+{\frac {\partial L}{\partial q_{ks}}}=0\quad ...(16)$

을 얻는다. 즉, 전기동역학 퍼텐셜 $q_{s}$의 도함수는 오직

$M_{ks}=q_{sk}-q_{ks}$

와 관련되어서만 나타난다. 우리는 따라서 가정으로부터 불변량 $L$이 퍼텐셜 $g^{\mu \nu },\,q_{s}$를 제외하고는 오직 반대칭 불변 텐서

$M=(M_{ks})={\text{Rot}}(q_{s})$

, 즉 소위 전자기 $6$-벡터에만 의지한다는 것을 알 수 있다. 이 결과(맥스웰 방정식의 특성을 결정)는 본질적으로 일반 불변성의 결과, 즉 공리 II를 바탕으로 나타난다.

항등식 $(15)$의 좌변에서 $p_{m}^{\nu }$의 계수를 $0$이라 둔다. 그러면 $(16)$을 사용하여

$2\sum _{\mu }{\frac {\partial L}{\partial g^{\mu \nu }}}g^{\mu m}-{\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}q_{\nu }-\sum _{s}{\frac {\partial L}{\partial M_{ms}}}M_{\nu s}=0\quad (\mu =1,2,3,4)\quad ...(17)$

을 얻는다.

이 방정식은 전자기 에너지, 즉 $L$로부터 나오는 에너지 벡터의 일부에 관한 중요한 변환을 만든다. 이 부분은 $(11),(13),(14)$로부터 다음과 같이 얻어진다:

$Lp^{l}-\sum _{k}{\frac {\partial L}{\partial q_{kl}}}p_{k}-{\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}\sum _{k,\,s}{\frac {\partial }{\partial w_{k}}}\left\{\left({\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{lk}}}-{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{kl}}}\right)p^{s}q_{s}\right\}$

$(16)$의 결과로, $(5)$를 고려하면 이 표현식은

$\sum _{s,\,k}\left(L\delta _{s}^{l}-{\frac {\partial L}{\partial M_{lk}}}M_{sk}-{\frac {\partial L}{\partial q_{l}}}q_{s}\right)p^{s}\quad ...(18)$

$(\delta _{s}^{l}=0,\,\,l\neq s;\,\,\delta _{s}^{s}=1)$

와 같아진다. 즉, $(17)$로 인해

$-{\frac {2}{\sqrt {g}}}\sum _{\mu ,\,s}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial g^{\mu s}}}g^{\mu l}p^{s}\quad ...(19)$

와 같다. 아래에서 구축되는 식 $(21)$로 인해, 우리는 특히 전자기 에너지가, 그리고 그에 따라 총 에너지 벡터 $e^{l}$ 또한 $K$에 대해서만 표현될 수 있어서 오직 $g^{\mu \nu }$와 그 도함수만 등장하고 $q_{s}$와 그 도함수는 등장하지 않는다는 것을 확인할 수 있다. 표현식 $(18)$에서

${\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=0,\quad (\mu \neq \nu )\\g_{\mu \mu }&=1\end{aligned}}$

로 제한할 경우, 이는 미에가 그의 전기동역학에서 세운 것과 정확히 일치한다: 미에의 전자기 에너지 텐서는 따라서 (이러한 제한 하에) 불변량 $L$을 중력 퍼텐셜 $g^{\mu \nu }$에 대하여 미분하여 얻는 일반 불변적인 텐서 그 이상도 이하도 아니게 된다. 이 상황은 처음으로 나를 아인슈타인의 일반 상대성 이론과 미에의 전기동역학 사이의 필연적인 밀접한 연관성으로 이끌었고 이로써 여기에서 전개된 이론이 옳다는 확신을 주었다.

이제, 가정

$H=K+L\quad ...(20)$

이 주어졌을 때, 위에서 구축된 일반화된 맥스웰 방정식 $(5)$가 어떻게 위에서 주어진 방식대로 중력 방정식 $(4)$의 결과가 되는지를 직접적으로 보이는 일이 남았다.

앞서 도입한 표기법을 사용하여 $g^{\mu \nu }$에 대한 변분을 계산하면, 중력 방정식은 $(20)$에 의해 다음과 같은 형태로 주어진다.

$\left[{\sqrt {g}}K\right]_{\mu \nu }+{\frac {\partial {\sqrt {g}}L}{\partial g^{\mu \nu }}}=0\quad ...(21)$

좌변의 첫번째 항이

$\left[{\sqrt {g}}K\right]_{\mu \nu }={\sqrt {g}}\left(K_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Kg_{\mu \nu }\right)$

가 된다는 사실은 계산 없이도 쉽게 확인할 수 있는데, $K_{\mu \nu }$는 $g_{\mu \nu }$와 별개인 유일한 $2$차 텐서이고 $K$는 $g_{\mu \nu }$와 그 일계 미분, 이계 미분인 $g_{k}^{\mu \nu },\,\,g_{kl}^{\mu \nu }$로부터 만들어질 수 있는 유일한 불변량이기 때문이다.

결과적인 중력 미분 방정식은, 내가 보았을 때, 아인슈타인이 최근 논문^[5]에서 발표한 일반 상대성이라는 장대한 이론과 합치된다.

또한 ${\sqrt {g}}\,J$의 전기동역학 퍼텐셜 $q_{h}$에 대한 변분 도함수를 일반적으로

$[{\sqrt {g}}\,J]_{h}={\frac {\partial {\sqrt {g}}\,J}{\partial q_{h}}}-\sum _{k}{\frac {\partial }{\partial w_{k}}}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,J}{\partial q_{hk}}}$

라 표시하면, 기본 전기동역학 방정식은 $(2)$로 인해

$[{\sqrt {g}}\,L]_{h}=0\quad ...(22)$

의 형태를 갖는다. $K$는 $g^{\mu \nu }$와 그 도함수에만 의존하므로, 정리 III에 의해 방정식 $(7)$에서

$i_{s}=\sum _{\mu ,\,\nu }[{\sqrt {g}}\,K]_{\mu \nu }g_{s}^{\mu \nu }\quad ...(23)$

및

$i_{s}^{l}=-2\sum _{\mu }[{\sqrt {g}}\,K]_{\mu \nu }g^{\mu l},\quad (\mu =1,2,3,4)\quad ...(24)$

가 된다. $(21)$과 $(24)$로 인해, $(19)$는 $-{\frac {1}{\sqrt {g}}}i_{\nu }^{m}$와 같다. $w_{m}$에 대하여 미분한 뒤 $m$에 대하여 더하면 $(7)$로부터

$i_{\nu }=\sum _{m}{\frac {\partial }{\partial w_{m}}}\left(-{\sqrt {g}}\,L\,\delta _{\nu }^{m}+{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{m}}}q_{\nu }+\sum _{s}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial M_{sm}}}M_{s\nu }\right)\quad \quad \,\,$

${\begin{aligned}\displaystyle =&-{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial w_{\nu }}}+\sum _{m}\left\{q_{\nu }{\frac {\partial }{\partial w_{m}}}\left(\left[{\sqrt {g}}\,L\right]_{m}+\sum _{s}{\frac {\partial }{\partial w_{s}}}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{ms}}}\right)\right.\\&+\left.q_{\nu m}\left(\left[{\sqrt {g}}\,L\right]_{m}+\sum _{s}{\frac {\partial }{\partial w_{s}}}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{ms}}}\right)\right\}\\\displaystyle &+\sum _{s}\left(\left[{\sqrt {g}}\,L\right]_{s}-{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{s}}}\right)M_{s\nu }+\sum _{s,\,m}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial M_{sm}}}{\frac {\partial M_{s\nu }}{\partial w_{m}}}\end{aligned}}$

를 얻는다. 여기에서

${\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{m}}}=[{\sqrt {g}}\,L]_{m}+\sum _{s}{\frac {\partial }{\partial w_{s}}}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{ms}}}$

및

$-\sum _{m}{\frac {\partial }{\partial w_{m}}}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{sm}}}=\left[{\sqrt {g}}\,L\right]_{s}-{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{s}}}$

이다. 이제 $(16)$가

$\sum _{m,\,s}{\frac {\partial ^{2}}{\partial w_{m}\partial w_{s}}}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{ms}}}=0$

이라는 점을 고려하고, 적절히 간추리면 다음을 얻는다:

${\begin{aligned}i_{\nu }=&-{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial w_{\nu }}}+\sum _{m}\left(q_{\nu }{\frac {\partial }{\partial w_{m}}}\left[{\sqrt {g}}\,L\right]_{m}+M_{m\nu }\left[{\sqrt {g}}\,L\right]_{m}\right)\\&+\sum _{m}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{m}}}q_{m\nu }+\sum _{s,\,m}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial M_{sm}}}{\frac {\partial M_{s\nu }}{\partial w_{m}}}\end{aligned}}\quad ...(25)$

한편,

$-{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial w_{\nu }}}=-\sum _{s,\,m}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial g^{sm}}}g_{\nu }^{sm}-\sum _{m}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{m}}}q_{m\nu }-\sum _{m,\,s}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial q_{ms}}}{\frac {\partial q_{ms}}{\partial w_{\nu }}}$

이다. 우변의 첫번째 항은 $(21)$과 $(23)$으로 인해 다름아닌 $i_{\nu }$이다. $(25)$의 우변의 마지막 항에 대하여,

$\sum _{s,\,m}{\frac {\partial {\sqrt {g}}\,L}{\partial M_{sm}}}\left({\frac {\partial M_{s\nu }}{\partial w_{m}}}-{\frac {\partial q_{ms}}{\partial w_{\nu }}}\right)=0\quad ...(26)$

이다. 왜냐하면 표현식

${\frac {\partial M_{s\nu }}{\partial w_{m}}}-{\frac {\partial q_{ms}}{\partial w_{\nu }}}={\frac {\partial ^{2}q_{\nu }}{\partial w_{s}\partial w_{m}}}-{\frac {\partial ^{2}q_{s}}{\partial w_{\nu }\partial w_{m}}}-{\frac {\partial ^{2}q_{m}}{\partial w_{\nu }\partial w_{s}}}$

은 $s,m$에 대하여 대칭이고, $(26)$의 합 기호의 첫번째 인수는 $s,m$에 대하여 반대칭이기 때문이다.

$(25)$로부터 다음 식을 얻는다.

$\sum _{m}\left(M_{m\nu }\left[{\sqrt {g}}\,L\right]_{m}+q_{\nu }{\frac {\partial }{\partial w_{m}}}\left[{\sqrt {g}}\,L\right]_{m}\right)=0\quad ...(27)$

즉, 전기동역학 방정식 $(5)$와 그 일차 도함수의 $4$개의 상호 독립적인 선형 결합 $(27)$은 실제로 중력 방정식 $(4)$로부터 도출된다. 이것이 바로 위에서 언급한, 전기동역학이 중력의 한 결과라는 일반적 진술에 대한 정확한 수학적 표현이다.

우리의 가정에 의해 $L$이 $g^{\mu \nu }$의 도함수에 의존해서는 안되므로, $L$은 어떤 $4$개의 일반적인 불변량의 함수여야 한다. 그 양들은 미에가 제시한 특수한 직교 불변량에 대응되는데, 그 중 가장 간단한 두 개는

$Q=\sum _{k,\,l,\,m,\,n}M_{mn}M_{lk}g^{mk}g^{nl}$

그리고

$q=\sum _{k,\,l}q_{k}q_{l}\,g^{kl}$

이다. $K$의 구축을 통하여 $L$에 접근하는 가장 간단하고 가까운 방법 또한 미에의 전기동역학의 그것에 해당된다. 즉

$L=\alpha Q+f(q)$

또는 미에를 따라 보다 특수하게는,

$L=\alpha Q+\beta q^{s}$

이다. 여기에서 $f(q)$는 $q$에 관한 임의의 함수이고 $\alpha ,\beta$는 상수이다.

보다시피, 의미 있게 해석하자면, 공리 I과 II로 표현된 몇 개의 간단한 가정은 이론을 구축하는 데 충분하다: 이들을 통해 공간, 시간 및 운동에 관한 우리의 관념은 아인슈타인이 제시한 방식으로 근본적으로 바뀌었으며, 나 또한 여기에서 수립된 기본 방정식들이 원자들에 있어서 가장 긴밀한, 이전에는 숨겨져 있던 과정들을 밝혀주며, 특히 모든 물리 상수들을 수학적 상수로 환원시킬 수 있다는 확신을 얻었다. 일반적으로 어떻게 물리학이 원리적으로 기하학류의 한 과학이 될 가능성에 가까워질까: 여기에는, (이곳에서처럼) 강력한 분석 방법, 즉 변분학과 불변 이론을 활용하는, 최고의 장대함에 빛나는 공리적 방법이 분명히 그 역할을 할 것이다.

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1. Sitzungsber. d. Berliner Akad. 1914 S. 1030, 1915 S. 778, 799(위키문헌), 831(위키문헌), 844(위키문헌).
2. Ann. d. Phys. 1912, Bd. 37 S. 511, Bd. 39 S. 1, 1913, Bd. 40 S. 1.
3. 미에의 세계 함수가 정확히 이러한 독립 변수들을 담고 있지는 않다; 특히, 독립 변수 $(2)$는 보른[Max Born]의 것이다; 그러나, 해밀턴 원리에서 이러한 세계 함수를 도입하고 사용하는 것은 정확하게 미에의 전기역학의 특징이다.
4. 미에는 이미 직교 변환에 대한 불변성을 요구하였다. 위에서 제시된 공리 II로부터, 아인슈타인의 일반 불변성에 관한 근본 원리의 가장 간단한 표현이 얻어진다. 다만, 아인슈타인의 이론에서 해밀턴 원리는 부차적인 역할만을 하며, 그의 함수 $H$는 결코 일반 불변도 아니고 전기 퍼텐셜을 포함하지도 않는다.
5. ${\text{l.c.}}$ Berliner Sitzungsber. 1915.