일반 상대성 이론을 통한 수성 근일점 운동의 설명

일반 상대성 이론을 통한 수성 근일점 운동의 설명

Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie

알베르트 아인슈타인
A.Einstein

최근 이 보고서[Sitzungsberichte]를 통해 출판된 작업에서, 나는 행렬식이 $1$인 임의의 변환에 대하여 공변인 중력장 방정식을 세웠다. 그 보충에서 나는 "물질" 에너지 텐서의 스칼라가 사라진다면 이 방정식들이 일반 공변적임을 보였고, 이 가설의 도입을 부정하는 중요한 고려사항은 존재하지 않음을 설명했다. 이를 통해 시간과 공간은 그 객관적 실재의 마지막 흔적마저 제거된다.^[1]

이번 작업에서 나는 이 가장 근본적인 상대성 이론의 한 가지 중요한 검증을 찾아냈는데, 이 이론은 수성 궤도의 특이적인 회전(궤도 운동 그 자체로서)을 질적으로, 양적으로 설명한다는 것을 보여준다. 이는 르베리에[Le Verrier]가 발견했으며, 그 양은 $100$년에 $45$ 각초에 이른다.^[2] 또한, 나는 이 이론이 중력장에 의한 광선의 곡률을 내 종전의 연구에서 지목한 양의 두 배로 예측한다는 것을 보였다.

§1. 중력장.

나의 최근 두 회의로부터 진공에서의 중력장은, 좌표계를 적당히 선택했을 때 다음 방정식

$\sum _{\alpha }{\frac {\partial \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}+\sum _{\alpha \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }=0\quad ...(1)$

을 만족시켜야 한다는 결론을 얻는다. 여기에서 $\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }$는 방정식

$\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }=-\left\{{\mu \nu \atop \alpha }\right\}=-\sum _{\beta }g^{\alpha \beta }\left[{\mu \nu \atop \beta }\right]=-{\frac {1}{2}}\sum _{\beta }g^{\alpha \beta }\left({\frac {\partial g_{\mu \beta }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \beta }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}\right)\quad ...(2)$

로 정의된다. 더 나아가, 지난 회의에서처럼 "물질"의 에너지 텐서의 축약이 언제나 사라진다고 가정하여 추가적으로 행렬식 조건을 도입하자.

$|g_{\mu \nu }|=-1\quad ...(3)$

좌표계의 원점에는 점 질량(태양)이 위치해 있다. 이 점 질량이 만드는 중력장은 이들 방정식으로부터 순차적인 근사를 통해 계산할 수 있다.

그럼에도, 우리는 수학적으로 $g_{\mu \nu }$가 방정식 $(1)$과 $(3)$에 의해 완전히 결정되지 않음을 고려해야 한다. 이들 방정식은 행렬식이 $1$인 임의의 변환에 대하여 공변적이기 때문이다. 하지만 우리는 그 모든 해들이 그러한 변환으로 서로 유도될 수 있어서 형식적으로는 (주어진 경계 조건에 의해) 구분되나 물리적으로는 그렇지 아니하다고 가정할 수 있다. 이에 따라, 나는 일단 해가 유일한지의 문제를 논하지 않고 한 가지 해를 유도하는 것으로 만족했다.

진행을 위해, $g_{\mu \nu }$는 $0$차 근사로 다음과 같은 원래의 상대성 이론에 대응하는 값으로 주어진다고 하자.

$\left.{\begin{array}{rrrr}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&+1\end{array}}\right\}$$\quad ...(4)$

또는, 더 간단히는

$\left.{\begin{aligned}\displaystyle g_{\rho \sigma }&=-\delta _{\rho \sigma }\\\displaystyle g_{\rho 4}&=g_{4\rho }=0\\\displaystyle g_{44}&=1\end{aligned}}\right\}\quad ...(4a)$

와 같다. 여기에서 $\rho$와 $\sigma$는 첨수 $1,2,3$을 나타내며, $\delta _{\rho \sigma }$는 $\rho =\sigma$ 또는 $\rho \neq \sigma$일 때 각각 $1$ 또는 $0$이다.

이제 우리는 $g_{\mu \nu }$가 방정식 $(4a)$로 주어진 값과 $1$에 비해 작은 양만큼만 다르다고 가정한다. 이 편차는 $1$차 범위의 작은 양으로 다루고, 편차에 관한 $n$차 범위의 함수는 $n$차항의 양으로 다룰 것이다. 방정식 $(1)$과 $(3)$은 방정식 $(4a)$와 함께 중력장을 순차적 근사를 통해 $n$차항까지 정확하게 계산할 수 있게 해준다. 방정식 $(4a)$로 주어진 근사는 $0$차 근사를 이룬다.

해는 다음 성질을 가지며, 이는 좌표계를 결정한다:

1. 모든 성분은 $x_{4}$에 독립적이다.

2. 해는 공간 상에서 좌표계의 원점에 대하여, 그것에 선형 직교 변환을 적용했을 때 동일한 해를 얻는 방식으로 대칭적이다.

3. 방정식 $g_{\rho 4}=g_{4\rho }=0$은 $\rho =1,2,3$에 대하여 정확히 성립한다.

4. $g_{\mu \nu }$는 무한대에서 방정식 $(4a)$에서 주어진 값을 갖는다.

1차 근사.

$1$차항의 범위에서 방정식 $(1)$과 $(3)$은 방금 언급된 $4$개의 조건에 대하여 다음과 같이 가정된 해

$\left.{\begin{aligned}\displaystyle g_{\rho \sigma }&=-\delta _{\rho \sigma }+\alpha \left({\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{\rho }\partial x_{\sigma }}}-{\frac {\delta _{\rho \sigma }}{r}}\right)=-\delta _{\rho \sigma }-\alpha {\frac {x_{\rho }x_{\sigma }}{r^{3}}}\\\\\displaystyle g_{44}&=1-{\frac {\alpha }{r}}\end{aligned}}\right\}\quad ...(4b)$

를 통해 만족된다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. $g_{4\rho }\,(g_{\rho 4})$는 조건 $3$에 의해 결정되며, $r$은 $+{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}$을 나타낸다. 또한 $\alpha$는 태양의 질량에 의해 결정되는 어떤 상수이다.

조건 $3$이 $1$차항 범위에서 만족된다는 것은 바로 확인할 수 있다. 장 방정식 $(1)$ 또한 $1$차 근사로 만족된다는 것을 간단히 확인하기 위해서는, $3$차항 이상을 무시할 경우 방정식 $(1)$의 좌변은

${\begin{aligned}&\displaystyle \sum _{\alpha }{\frac {\partial \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}\\\\&\displaystyle \sum _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left[{\mu \nu \atop \alpha }\right]\end{aligned}}$

로 순차적으로 대체될 수 있다는 것에 주목하면 된다. 여기에서 $\alpha$는 $1$부터 $3$까지만을 나타낸다.

방정식 $(4b)$에서 알 수 있듯이, 내 이론은 정지한 질량의 경우에 성분 $g_{11}$부터 $g_{33}$이 $1$차항 범위에서 이미 $0$과 다르다는 것을 시사한다. 우리는 이것이 $1$차항 범위에서 뉴턴 법칙과 모순을 만들지 않는다는 것을 나중에 확인하게 될 것이다. 그러나 이 이론은 중력장이 광선에 미치는 영향에 대하여 내 기존 연구와는 다른 값을 도출하는데, 이는 광속이 다음 방정식

$\sum g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu }=0\quad ...(5)$

으로 결정되기 때문이다. 하위헌스의 원리를 적용하면, 방정식 $(5)$와 $(4b)$로부터 간단한 계산을 거쳐 거리 $\Delta$만큼 떨어진 곳을 지나가는 광선은 각도가 ${\frac {2\alpha }{\Delta }}$만큼 휘어진다는 것을 알 수 있다. 반면, 가정 $\sum T_{\mu }^{\mu }=0$을 바탕으로 하지 않은 기존의 계산은 ${\frac {\alpha }{\Delta }}$를 도출했었다. 태양의 표면을 스쳐 지나가는 광선은 ($0.85''$가 아니라) $1.7''$만큼의 굴절을 겪게 된다. 이 차이와는 달리, 프로인틀리히[Freundlich]가 검증했던, 중력 퍼텐셜에 의한 분광선의 이동에 관한 결과는 (해당 차수 범위에서) 영향을 받지 않는데, 이 결과는 오로지 $g_{44}$에만 의존하기 때문이다.

$g_{\mu \nu }$를 $1$차 근사로 얻었으므로, 중력장의 성분 $\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }$ 또한 $1$차 근사로 계산해낼 수 있다. 방정식 $(2)$와 $(4b)$로부터

$\Gamma _{\rho \sigma }^{\tau }=-\alpha \left(\delta _{\rho \sigma }{\frac {x_{\tau }}{r^{3}}}-{\frac {3}{2}}{\frac {x_{\rho }x_{\sigma }x_{\tau }}{r^{5}}}\right)\quad ...(6a)$

를 얻으며, 여기에서 $\rho ,\sigma ,\tau$는 첨수 $1,2,3$ 중 어느 하나를 나타낸다. 또한

$\Gamma _{44}^{\sigma }=\Gamma _{4\sigma }^{4}=-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {x_{\sigma }}{r^{3}}}\quad ...(6b)$

이며, 이 때 $\sigma$는 첨수 $1,2,3$을 나타낸다. 첨수 $4$가 한 번 혹은 세 번 나타나는 성분은 사라진다.

2차 근사.

나중에, 행성의 운동을 적절한 정확도로 밝혀내기 위해서는 오직 세 성분 $\Gamma _{44}^{\sigma }$를 $2$차항 범위까지 밝히면 된다는 것을 알게 된다. 이 과정을 위해서는, 최근의 장 방정식과 우리의 해에 도입한 일반적인 조건으로 충분하다. 최근의 장 방정식

$\sum _{\sigma }{\frac {\partial \Gamma _{44}^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}+\sum _{\sigma \tau }\Gamma _{4\tau }^{\sigma }\Gamma _{4\sigma }^{\tau }=0$

은 방정식 $(6b)$을 고려하고 $3$차항 이상은 무시했을 때

$\sum _{\sigma }{\frac {\partial \Gamma _{44}^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}=-{\frac {\alpha ^{2}}{2r^{4}}}$

가 된다. 이로부터, 방정식 $(6b)$과 우리의 해의 대칭성을 고려하면

$\Gamma _{44}^{\sigma }=-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {x_{\sigma }}{r^{3}}}\left(1-{\frac {\alpha }{r}}\right)\quad ...(6c)$

를 얻게 된다.

§2. 행성의 운동.

일반 상대성 이론이 도출하는 중력장에 놓인 질점의 운동 방정식은

${\frac {d^{2}x_{\nu }}{ds^{2}}}=\sum _{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \tau }^{\nu }{\frac {dx_{\sigma }}{ds}}{\frac {dx_{\tau }}{ds}}\quad ...(7)$

와 같다. 이 방정식으로부터 먼저 이것이 $1$차 근사로 뉴턴의 운동 방정식을 포함하고 있다는 것을 유도한다. 물론, 행성의 운동이 광속보다 작은 속도로 이루어진다면, $dx_{1},dx_{2},dx_{3}$은 $dx_{4}$에 비해 작다. 결과적으로, $1$차 근사를 통해 우리는 우변에서 $\sigma =\tau =4$의 항만 고려하게 된다. 방정식 $(6b)$를 고려하면,

$\left.{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {d^{2}x_{\nu }}{ds^{2}}}=\Gamma _{44}^{\nu }=-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {x_{\nu }}{r^{3}}}\quad (\nu =1,2,3)\\\\\displaystyle {\frac {d^{2}x_{4}}{ds^{2}}}=0\end{array}}\right\}\quad ...(7a)$

을 얻는다.

이 방정식들은 우리가 $1$차 근사로 $s=x_{4}$라 둘 수 있음을 보여준다. 그러면 첫 $3$개의 방정식은 정확히 뉴턴 방정식이다. 궤도면에 극좌표를 도입하면, 잘 알려져 있듯이 에너지 법칙과 면적 법칙은 방정식

$\left.{\begin{aligned}\displaystyle {\frac {1}{2}}u^{2}+\Phi &=A\\\\\displaystyle r^{2}{\frac {d\phi }{ds}}&=B\end{aligned}}\right\}\quad ...(8)$

를 도출한다. 이 때 $A$와 $B$는 에너지 법칙의 상수들을 나타내며,

$\left.{\begin{aligned}\displaystyle \Phi &=-{\frac {\alpha }{2r}}\\\\\displaystyle u^{2}&={\frac {dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2}}{ds^{2}}}\end{aligned}}\right\}\quad ...(8a)$

이 성립한다.

이제, 방정식을 다음 차수까지 평가해야 한다. 이 때 $(7)$의 마지막 방정식은 방정식 $(6b)$와 함께

${\frac {d^{2}x_{4}}{ds^{2}}}=2\sum _{\sigma }\Gamma _{\sigma 4}^{4}{\frac {dx_{\sigma }}{ds}}{\frac {dx_{4}}{ds}}=-{\frac {dg_{44}}{ds}}{\frac {dx_{4}}{ds}}$

을 도출한다. 혹은, $1$차항 범위에서

${\frac {dx_{4}}{ds}}=1+{\frac {\alpha }{r}}\quad ...(9)$

이다.

이제 $(7)$의 세 방정식 중 첫번째 것을 살펴보자. 우변은 다음을 도출한다:

$a)$ 첨수 조합 $\sigma =\tau =4$에 대하여

$\Gamma _{44}^{\nu }\left({\frac {dx_{4}}{ds}}\right)^{2}$

또는 방정식 $(6c)$와 $(9)$를 고려했을 때, $2$차항 범위에서

$-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {x_{\nu }}{r^{3}}}\left(1+{\frac {\alpha }{r}}\right)$

이다.

$b)$ 첨수 조합 $\sigma \neq 4,\,\tau \neq 4$에 대하여(고려할 수 있는 유일한 것이다), 방정식 $(8)$을 일차항까지 사용하여 곱 ${\frac {dx_{\sigma }}{ds}}{\frac {dx_{\tau }}{ds}}$를 고려하면 $2$차항 범위에서

$-{\frac {\alpha x_{\nu }}{r^{3}}}\sum \left(\delta _{\sigma \tau }-{\frac {3}{2}}{\frac {x_{\sigma }x_{\tau }}{r^{2}}}\right){\frac {dx_{\sigma }}{ds}}{\frac {dx_{\tau }}{ds}}$

이다.

이들을 합하면

$-{\frac {\alpha x_{\nu }}{r^{3}}}\left(u^{2}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {dr}{ds}}\right)^{2}\right)$

이다. 이 값을 사용하여 운동 방정식을 $2$차 범위까지 유효한 다음 형태로 얻게 된다.

${\frac {d^{2}x_{\nu }}{ds^{2}}}=-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {x_{\nu }}{r^{3}}}\left(1+{\frac {\alpha }{r}}+2u^{2}-3\left({\frac {dr}{ds}}\right)^{2}\right)\quad ...(7b)$

이는 방정식 $(9)$와 함께 질점의 운동을 결정한다. 또한, 방정식 $(7b)$와 $(9)$는 원형 운동의 경우 케플러의 $3$법칙과 어긋나지 않는다는 것을 관찰해야 한다.

방정식 $(7b)$로부터 무엇보다도, 방정식

$r^{2}{\frac {d\phi }{ds}}=B\quad ...(10)$

가 정확히 성립한다는 사실을 얻는다. 여기에서 $B$는 상수이다. 따라서 행성의 "고유 시간"으로 시간을 측정할 경우 면적 법칙은 $2$차 범위에서 유효하다. 방정식 $(7b)$로부터 타원 궤도의 특이적인 회전을 밝혀내기 위해서, 우리는 소괄호 안의 $1$차항들을 방정식 $(10)$과 $(8)$의 첫번째 방정식을 이용해 가장 적절하게 대체할 수 있으며, 이러한 과정으로 우변의 $2$차항은 변하지 않는다. 소괄호는

$\left(1-2A+{\frac {3B^{2}}{r^{2}}}\right)$

의 형태를 띠게 된다. 마지막으로, $s{\sqrt {(1-2A)}}$를 시간 변수로 선택한 뒤 그것을 $s$라 두면 $B$에 다른 의미가 부여됨과 함께

$\left.{\begin{aligned}\displaystyle {\frac {d^{2}x_{\nu }}{ds^{2}}}&=-{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{\nu }}}\\\\\Phi &=-{\frac {\alpha }{2r}}\left[1+{\frac {B^{2}}{r^{2}}}\right]\end{aligned}}\right\}\quad ...(7c)$

이다. 궤도의 방정식을 결정하기 위해서, 이제 정확히 뉴턴 역학에서처럼 나아간다. 방정식 $(7c)$로부터 먼저

${\frac {dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2}}{ds^{2}}}=2A-2\Phi$

를 얻는다.

만약 이 방정식에서 방정식 $(10)$의 도움으로 $ds$를 제거하면,

$\left({\frac {dx}{d\phi }}\right)^{2}={\frac {2A}{B^{2}}}+{\frac {\alpha }{B^{2}}}x-x^{2}+\alpha x^{3}\quad ...(11)$

을 얻는다. 여기에서 $1/r$을 $x$라 표시했다. 이 방정식은 뉴턴 이론에서 대응되는 것과 오로지 우변의 마지막 항에 대해서만 다르다.

근일점과 원일점 사이에서 동경 벡터가 만드는 각도는 결과적으로 다음 타원 적분으로 주어진다.

$\phi =\int _{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}{\frac {dx}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {2A}{B^{2}}}+{\frac {\alpha }{B^{2}}}x-x^{2}+\alpha x^{3}}}}}$

여기에서 $\alpha _{1}$과 $\alpha _{2}$는 방정식

${\frac {2A}{B^{2}}}+{\frac {\alpha }{B^{2}}}x-x^{2}+\alpha x^{3}=0$

의 근을 나타내며, 이 방정식에서 마지막 항을 제거하여 얻는 방정식의 이웃한 두 근과 가깝게 대응된다. 따라서, 우리가 요구하는 정확도에 대하여 다음과 같이 식을 세울 수 있다.

$\phi =\left[1+{\frac {1}{2}}\alpha (\alpha _{1}+\alpha _{2})\right]\cdot \int _{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}{\frac {dx}{\sqrt {-(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})(1-\alpha x)}}}$

혹은 $(1-\alpha x)^{-1/2}$에 대하여 전개하면

$\phi =\left[1+{\frac {1}{2}}\alpha (\alpha _{1}+\alpha _{2})\right]\cdot \int _{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}{\frac {\displaystyle \left(1+{\frac {\alpha }{2}}x\right)dx}{\sqrt {-(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})}}}$

이다. 이 적분은

$\phi =\pi \left[1+{\frac {3}{4}}\alpha (\alpha _{1}+\alpha _{2})\right]$

를 도출한다. 혹은, $\alpha _{1}$과 $\alpha _{2}$가 각각 태양으로부터의 최대 거리와 최소 거리의 역수를 나타낸다고 하면

$\phi =\pi \left(1+{\frac {3}{2}}{\frac {\alpha }{a(1-e^{2})}}\right)\quad ...(12)$

이다. 따라서, 궤도 한 바퀴를 완주한 뒤 근일점은 궤도 운동의 관점에서

$\varepsilon =3\pi {\frac {\alpha }{a(1-e^{2})}}\quad ...(13)$

만큼 나아간다. 여기에서 장반축은 $a$, 이심률은 $e$로 표시하였다. 만약 궤도 주기 $T$(초 단위)를 도입하면,

$\varepsilon =24\pi ^{3}{\frac {a^{2}}{T^{2}c^{2}(1-e^{2})}}\quad ...(14)$

를 얻는다. 여기에서 $c$는 광속을 ${\text{cm/sec}}$ 단위로 나타낸 것이다. 행성 수성에 대하여 계산하면 근일점이 $100$년 당 $43''$만큼 전진한다는 결과를 얻는데, 천문학자들은 관측과 뉴턴 이론 사이의 설명되지 않는 차이로 $45''\pm 5''$만큼을 부여했다. 이 이론은 따라서 관측과 완벽히 합치된다.

지구와 화성에 대해서는, 천문학자들은 각각에 $100$년 당 $11''$와 $9''$ 만큼의 전진을 부여하는 반면 우리의 공식은 각각 $100$년 당 $4''$와 $1''$를 도출한다. 그러나, 이들 자료는 행성 궤도의 충분치 못한 이심률로 인해 가치가 낮은 것으로 보인다. 근일점 운동에 관한 측정 신뢰도의 결정 인자는 운동과 이심률의 곱 $\left(e{\frac {d\pi }{dt}}\right)$와 같다. 뉴콤[Newcomb]이 배정한 이들 값을 살펴보면 다음과 같다.

	$e{\frac {d\pi }{dt}}$
수성	$8.48''\pm 0.43$
금성	$-0.05''\pm 0.25$
지구	$0.10''\pm 0.13$
화성	$0.75''\pm 0.35$

이 자료에 대하여 프로인틀리히 박사에게 감사하고 싶다. 이를 보고서, 근일점의 전진이 오로지 수성에 대해서만 증명되었다는 인상을 받을 수 있다. 그러나, 이에 대해서는 전문가인 천문학자들에게 마지막 판단을 맡기겠다.

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1. 다가올 회의에서는 이 가설이 불필요하다는 것이 드러날 것이다. 오직 중요한 것은 행렬식 $|g_{\mu \nu }|$가 값 $-1$을 갖는 좌표계의 선택이 가능하다는 점이다. 다음의 연구는 이것과 무관하다.
2. 프로인틀리히[E. Freundlich]는 최근 뉴턴 이론을 기반으로는 수성의 변칙적인 운동을 만족스럽게 설명하지 못한다는 참고할만한 글을 작성하였다(Astronomische Nachrichten 201, 49 [1915]).