일반 상대성 이론에 대하여

본문(11월 4일)

일반 상대성 이론에 대하여

Zur allgemeinen Relativitätstheorie

알베르트 아인슈타인
A.Einstein

최근 몇 해 동안 나는 상대성 원리가 균일하지 않은 운동에도 적용된다는 것을 전제로 일반 상대성 이론의 기초를 세우려 노력하였다. 나는 실제로 일반 상대성 공준에 부합하는 유일한 중력 법칙을 찾았다고 믿었으며, 이 해법의 필연성을 작년 회의 보고서(Sitzungsberichte)에 제출한 논문^[1]에서 보이려고 하였다.

새로운 비판을 통해, 나는 이러한 필연성을 그곳에서 제시했던 방법으로는 일절 증명할 수 없다는 것을 깨달았다. 그것을 해낸 것으로 보였던 것은 오류에 기반한 것이었다. 상대성 공준은, 내가 요구한대로라면, 해밀턴 원리를 바탕으로 했을 때 언제나 충족된다; 그러나, 실제에서 그것은 중력장의 해밀턴 함수 $H$를 결정하는 어떠한 방법도 제공해주지 못한다. 실제로, $H$의 선택을 제한하는 방정식 $(77)\,{\text{l.c.}}$는 $H$가 선형 변환에 대해서 불변이어야 한다는 표현 이상도 이하도 아니며, 그러한 요구는 가속도의 상대성과는 하등 관계가 없다. 더 나아가, 방정식 $(77)$에 의해 선택되었던 방정식 $(78)\,{\text{l.c.}}$는 어떠한 수로도 고정되지 못한다.

이러한 이유들로 인해 나는 내가 유도했던 장 방정식에 대한 믿음을 잃었으며, 가능성을 제한할 수 있는 보다 자연스러운 방법을 모색하였다. 이러한 과정에서 나는 장 방정식이 보다 일반적인 공변성을 가져야 한다는 요구로 되돌아왔으며, 이는 3년 전 내 친구 그로스만과 함께 작업하였을 때 무거운 마음으로 포기한 것이었다. 사실, 우리는 그 때 이 문제의 해법에 거의 가까웠으며, 이는 다음에 제시될 것이다.

특수 상대성 이론이 선형 직교 변환에 대하여 모든 방정식들이 공변적이어야 한다는 공준을 바탕으로 하고 있듯이, 이곳에서 구축하는 이론은 모든 방정식이 행렬식이 $1$인 모든 변환에 대하여 공변적이어야 한다는 공준을 바탕에 둔다.

이를 진정으로 이해했다면 누구도 그 매력에서 헤어나지 못할 것이다. 이것은 가우스, 리만, 리치, 레비치비타가 세운 일반미분학(절대미분학)의 진정한 승리를 선언하기 때문이다.

§1. 공변량을 만드는 법칙.

작년의 내 논문에서 절대 미분학의 방법에 대한 자세한 설명을 제공했으므로, 공변량들을 생성하는 법칙에 대해서는 줄여도 괜찮을 것 같다. 그러므로 우리는 행렬식이 $1$인 변환만이 허용되었을 때 무엇이 바뀌는지만 조사해도 된다. 모든 변환에 대하여 유효한 식

$d\tau '={\frac {\partial (x_{1}'\cdot \cdot \cdot x_{4}')}{\partial (x_{1}\cdot \cdot \cdot x_{4})}}d\tau$

는 우리 이론의 전제, 즉

${\frac {\partial (x_{1}'\cdot \cdot \cdot x_{4}')}{\partial (x_{1}\cdot \cdot \cdot x_{4})}}=1\quad ...(1)$

로 인해 이제

$d\tau '=d\tau \quad ...(2)$

이고, 따라서 $4$차원 부피소 $d\tau$는 불변량이다. 더 나아가 (방정식 $(17)\,{\text{l.c.}}$) ${\sqrt {-g}}d\tau$는 임의의 변환에 대하여 불변이므로, 우리가 관심을 갖는 군에 대하여

${\sqrt {-g\,'}}={\sqrt {-g}}\quad ...(3)$

가 도출된다. $g_{\mu \nu }$의 행렬식은 따라서 불변량이다. ${\sqrt {-g}}$의 스칼라 성질로 인해 일반 공변적인 공식과 비교하여 공변량을 구성하는 공식들을 단순화할 수 있다. 짧게 말해서, 인수 ${\sqrt {-g}}$와 ${\frac {1}{\sqrt {-g}}}$은 더이상 기본 공식들에 등장하지 않으며, 텐서와 $V$-텐서의 구분은 제거된다. 특히 다음을 얻는다:

1. 텐서 $G_{iklm}={\sqrt {-g}}\,\delta _{iklm}$과 $G^{iklm}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\,\delta _{iklm}$ ($(19)$ 및 $(21a)\,{\text{l.c.}}$)는 이제 보다 간단한 구조를 갖는

$G_{iklm}=G^{\,iklm}=\delta _{iklm}\quad ...(4)$

으로 바뀐다.

2. 텐서의 확장에 관한 기본 공식 $(29)\,{\text{l.c.}}$와 $(30)\,{\text{l.c.}}$는 우리의 전제 하에서 더 간단한 것으로 교체되지는 않으나 ($(30)\,{\text{l.c.}}$과 $(31)\,{\text{l.c.}}$의 조합으로 표현되는) 발산을 정의하는 식은 간단화될 수 있다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}}=\sum _{s}{\frac {\partial A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}}{\partial x_{s}}}+\sum _{s\tau }\left[\left\{{s\tau \atop \alpha _{1}}\right\}A^{\tau \alpha _{2}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \left\{{s\tau \atop \alpha _{l}}\right\}A^{\tau \alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l-1}s}\right]+\sum _{s\tau }\left\{{s\tau \atop s}\right\}A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}\tau }\quad ...(5)$

그런데 $(24)\,{\text{l.c.}}$와 $(24a)\,{\text{l.c.}}$에 따라서

$\sum _{\tau }\left\{{s\tau \atop s}\right\}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha s}g^{s\alpha }\left({\frac {\partial g_{s\alpha }}{\partial x_{\tau }}}+{\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x_{s}}}-{\frac {\partial g_{s\tau }}{\partial x_{\alpha }}}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{s\alpha }g^{s\alpha }{\frac {\partial g_{s\alpha }}{\partial x_{\tau }}}={\frac {\partial (\log {\sqrt {-g}})}{\partial x_{\tau }}}\quad ...(6)$

이며, 이 양은 $(3)$으로 인해 벡터의 성질을 갖는다. 결과적으로, $(5)$의 우변의 마지막 항은 그 자체로 랭크 $l$의 반변 텐서이다. 우리는 따라서 $(5)$를 발산에 대한 보다 간단한 정의로 바꿀 수 있다. 즉,

$A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}}=\sum _{s}{\frac {\partial A^{\alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}}{\partial x_{s}}}+\sum _{s\tau }\left[\left\{{s\tau \atop \alpha _{1}}\right\}A^{\tau \alpha _{2}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l}s}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \left\{{s\tau \atop \alpha _{l}}\right\}A^{\tau \alpha _{1}\cdot \cdot \cdot \alpha _{l-1}s}\right]\quad ...(5a)$

이며 앞으로도 이와 같이 할 것이다.

예를 들어, 정의 $(37)\,{\text{l.c.}}$

$\Phi ={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\sum _{\mu }{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}({\sqrt {-g}}A^{\mu })$

는 보다 간단한 정의

$\Phi =\sum _{\mu }{\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}\quad ...(7)$

로 교체되어야 하며 반변 $6$-벡터의 발산식 $(40)\,{\text{l.c.}}$ 또한 더 간단한

$A^{\mu }=\sum _{\nu }{\frac {\partial A^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}\quad ...(8)$

가 되어야 한다. $(41a)\,{\text{l.c.}}$ 대신, 우리의 가정에 의해

$A_{\sigma }=\sum _{\nu }{\frac {\partial A_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {1}{2}}\sum _{\mu \nu \tau }g^{\tau \mu }{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}A_{\tau }^{\nu }\quad ...(9)$

를 얻는다. $(41b)\,{\text{l.c.}}$와 비교하면, 우리의 가정 속에서 발산 규칙은 일반 미분학에서의 $V$-텐서에 관한 발산 규칙과 동일하다는 것을 알 수 있다. 이는 ($(5)$ 및 $(5a)$로부터 유도되는) 어떤 텐서의 발산에도 적용된다.

3. 행렬식이 $1$인 변환으로의 제한은 $g_{\mu \nu }$와 그 도함수로부터만 형성된 공변량들에 대한 가장 큰 수준의 단순화로 이어진다. 수학에서는 이러한 공변량들이 모두 랭크 $4$의 리만-크리스토펠 텐서로부터 유도될 수 있음을 증명하였다. 이 텐서는 (공변 형태로) 다음과 같다:

$(ik,lm)={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{im}}{\partial x_{k}\partial x_{l}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{kl}}{\partial x_{i}\partial x_{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{il}}{\partial x_{k}\partial x_{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{mk}}{\partial x_{l}\partial x_{i}}}\right)+\sum _{\rho \sigma }g^{\rho \sigma }\left(\left[{im \atop \rho }\right]\left[{kl \atop \sigma }\right]-\left[{il \atop \rho }\right]\left[{km \atop \sigma }\right]\right)\quad ...(10)$

중력의 문제는 우리가 이 랭크 $4$의 텐서와 $g_{\mu \nu }$의 내적으로 만들어질 수 있는 랭크 $2$-텐서들에 특별히 관심을 둔다는 것을 의미한다. $(10)$으로부터 명백한 리만 텐서의 대칭성, 즉

${\begin{aligned}(ik,lm)&=(lm,ik)\\(ik,lm)&=-(ki,lm)\end{aligned}}\quad ...(11)$

으로 인해 이러한 곱은 오직 한 가지 방법으로만 만들어질 수 있다. 이로써 텐서

$G_{im}=\sum _{kl}g^{kl}(ik,lm)\quad ...(12)$

을 얻는다. 우리의 목적을 위해서는 이 텐서를 크리스토펠이 제공한 $(10)$의 다른 형태로부터 유도하는 것이 가치가 있다.^[2] 즉,

$\left\{ik,lm\right\}=\sum _{\rho }g^{k\rho }(i\rho ,lm)={\frac {\displaystyle \partial \left\{{il \atop k}\right\}}{\partial x_{m}}}-{\frac {\displaystyle \partial \left\{{im \atop k}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum _{\rho }\left[\left\{{il \atop \rho }\right\}\left\{{\rho m \atop k}\right\}-\left\{{im \atop \rho }\right\}\left\{{\rho l \atop k}\right\}\right]\quad ...(13)$

이 텐서에 텐서

$\delta _{k}^{l}=\sum _{\alpha }g_{k\alpha }g^{\alpha l}$

를 곱(내적)하면 $G_{im}$을 얻는다. 즉,

${\begin{aligned}G_{im}&=\left\{il,lm\right\}=R_{im}+S_{im}\quad ...(14)\\\\R_{im}&=-{\frac {\displaystyle \partial \left\{{im \atop l}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum _{\rho }\left\{{il \atop \rho }\right\}\left\{{\rho m \atop l}\right\}\quad ...(14a)\\\\S_{im}&={\frac {\displaystyle \partial \left\{{il \atop l}\right\}}{\partial x_{m}}}-\left\{{im \atop \rho }\right\}\left\{{\rho l \atop l}\right\}\quad ...(14b)\end{aligned}}$

이다. 행렬식이 $1$인 변환으로 제한하면, $(G_{im})$이 텐서일 뿐만 아니라, $(R_{im})$과 $(S_{im})$ 또한 텐서의 성질을 갖는다. 이는 ${\sqrt {-g}}$가 스칼라라는 사실과 $(6)$으로 인해 $\left\{{il \atop l}\right\}$이 공변 $4$-벡터라는 사실로부터 나오는데, 여기에서 $(S_{im})$은, $(29)\,{\text{l.c.}}$ 때문에 이 $4$-벡터의 확장에 지나지 않는다. 즉, 텐서이다. $(G_{im})$과 $(S_{im})$가 텐서의 성질을 가지므로 $(14)$로부터 $(R_{im})$ 또한 마찬가지이다. 후자의 텐서는 중력 이론에서 매우 중요하다.

§2. "물질" 과정의 미분 법칙에 관한 언급.

1. (진공에서의 전자기 과정을 포함한) 물질에 관한 에너지-운동량 정리.

앞 절에서의 일반적인 고려사항에 의하면, 방정식 $(42a)\,{\text{l.c.}}$는

$\sum _{\nu }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}={\frac {1}{2}}\sum _{\mu \tau \nu }g^{\tau \mu }{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}T_{\tau }^{\nu }+K_{\sigma }\quad ...(15)$

로 대체되어야 한다. 여기에서 $T_{\sigma }^{\nu }$는 일반적인 텐서이고, $K_{\sigma }$는 일반적인 $4$-벡터이다. (각각 $V$텐서, $V$-벡터가 아니다.) 이 방정식에 대하여, 앞으로 중요해지는 한 가지 언급을 덧붙이려 한다. 보존 법칙은 내가 과거에

${\frac {1}{2}}\sum _{\mu }g^{\tau \mu }{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}$

를 중력장의 성분에 대한 자연스러운 표현으로 보게 만들었으나, 절대 미분학의 공식들에 따르면 이 대신 크리스토펠 기호

$\left\{{\nu \sigma \atop \tau }\right\}$

를 도입하는 것이 보다 명백하다. 전자의 견해는 치명적인 편견이었다. 크리스토펠 기호를 우선하는 것은 그 자체로 정당한 것으로, 특히 그 공변 첨수(여기에서는 $\nu$와 $\sigma$)에 대하여 대칭적이라는 점, 근본적 중요성을 갖는 측지선 방정식 $(23b)\,{\text{l.c.}}$ (이는 물리적 관점에서 중력장에서의 질점의 운동 방정식이다)에 등장한다는 점이 그러하다. 식 $(15)$가 대체제가 될 수 없는 이유는 우변의 첫번째 항을

$\sum _{\nu \tau }\left\{{\sigma \nu \atop \tau }\right\}T_{\tau }^{\nu }$

의 형태로 바꿀 수 있기 때문이다. 따라서, 이제부터는

$\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }=-\left\{{\mu \nu \atop \sigma }\right\}=-\sum _{\alpha }g^{\sigma \alpha }\left[{\mu \nu \atop \alpha }\right]=-{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }g^{\sigma \alpha }\left({\frac {\partial g_{\mu \alpha }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \alpha }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\quad ...(16)$

를 중력장의 성분이라 부를 것이다. $K_{\nu }$는 $T_{\sigma }^{\nu }$가 모든 "물질" 과정에 대한 에너지 텐서를 나타낼 때 사라지며, 보존 정리 $(15)$는

$\sum _{\alpha }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}=-\sum _{\alpha \beta }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }T_{\alpha }^{\beta }\quad ...(15a)$

의 형태를 가진다.

중력장에 놓인 질점의 운동 방정식 $(23b)\,{\text{l.c.}}$이 다음 형태를 갖는 것을 주목한다.

${\frac {d^{2}x_{\tau }}{ds^{2}}}=\sum _{\mu \nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\tau }{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}\quad ...(17)$

2. 인용된 논문의 10절과 11절에서의 고려사항은 변동이 없다. 다만 $V$-스칼라, $V$-텐서라 부른 구조들은 이제 각각 일반적인 스칼라, 텐서이다.

§3. 중력장 방정식.

지금까지 말한 것으로부터, 중력장 방정식이 다음의 형태인 것은 명확하다.

$R_{\mu \nu }=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18)$

우리는 이 방정식이 행렬식이 $1$인 임의의 변환에 대하여 공변적이라는 것을 이미 알고 있다. 실제로, 이 방정식은 우리가 요구하는 모든 조건들을 만족시킨다. 더 자세하게 쓰면, $(14a)$와 $(16)$으로부터

$\sum _{\alpha }{\frac {\partial \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}+\sum _{\alpha \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18a)$

이다. 이제, 이 장방정식이 해밀토니언 형태

$\left.{\begin{array}{c}\displaystyle \delta \left\{\int \left({\mathfrak {L}}-\varkappa \sum _{\mu \nu }g^{\mu \nu }T_{\mu \nu }\right)d\tau \right\}\\\\\displaystyle {\mathfrak {L}}=\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }\end{array}}\right\}\quad ...(19)$

로 쓸 수 있다는 것을 보이려고 한다. 여기에서 $g^{\mu \nu }$에 대하여 변분하고, $T_{\mu \nu }$는 상수로 취급해야 한다. 즉, $(19)$는 방정식

$\sum _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g^{\mu \nu }}}=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(20)$

와 동치인데, 여기에서 ${\mathfrak {L}}$은 $g^{\mu \nu }$와 ${\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}(=g_{\sigma }^{\mu \nu })$의 함수로 여겨야 한다. 한편, 길지만 복잡하지 않은 계산을 진행하면 관계식

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g^{\mu \nu }}}&=-\sum _{\alpha \beta }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }\quad ...(21)\\\\{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}&=\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\quad ...(21a)\end{aligned}}$

가 도출된다. 이것과 $(19)$는 장방정식 $(18a)$를 제공한다.

이제, 에너지와 운동량의 보존 원리가 만족된다는 것을 쉽게 보일 수 있다. $(20)$에 $g_{\sigma }^{\mu \nu }$를 곱한 뒤 첨수 $\mu$와 $\nu$에 대하여 더해주면, 관례적인 재배열을 거쳐

$\sum _{\alpha \mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g_{\sigma }^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\alpha }^{\mu \nu }}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial x_{\sigma }}}=-\varkappa \sum _{\mu \nu }T_{\mu \nu }g_{\sigma }^{\mu \nu }$

를 얻는다. 한편 $(15)$에 의하면, 물질의 "전체" 에너지 텐서에 대하여

$\sum _{\lambda }{\frac {\partial T_{\sigma }^{\lambda }}{\partial x_{\lambda }}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{\mu \nu }{\frac {\partial g^{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}T_{\mu \nu }$

를 얻는다. 마지막 두 방정식으로부터

$\sum _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial x_{\lambda }}}\left(T_{\sigma }^{\lambda }+t_{\sigma }^{\lambda }\right)=0\quad ...(22)$

이다. 여기에서

$t_{\sigma }^{\lambda }={\frac {1}{2\varkappa }}\left({\mathfrak {L}}\,\delta _{\sigma }^{\lambda }-\sum _{\mu \nu }g_{\sigma }^{\mu \nu }{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial g_{\lambda }^{\mu \nu }}}\right)\quad ...(22a)$

은 중력장의 "에너지 텐서"를 표현하는데, 이것은 오직 선형 변환에 대해서만 텐서의 성질을 갖는다. 간단한 재배열을 거쳐, $(22a)$와 $(21a)$로부터

$t_{\sigma }^{\lambda }={\frac {1}{2}}\delta _{\sigma }^{\lambda }\sum _{\mu \nu \alpha \beta }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }-\sum _{\mu \nu \alpha }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }\quad ...(22b)$

를 얻는다. 마지막으로, 장방정식으로부터 도출되는 두 스칼라 방정식을 유도하려고 한다. $(18a)$에 $g^{\mu \nu }$를 곱한 다음 $\mu$와 $\nu$에 대하여 더하면, 간단한 재배열을 거쳐

$\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }+\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\alpha \beta }{\frac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\beta }}}\right)=-\varkappa \sum _{\sigma }T_{\sigma }^{\sigma }\quad ...(23)$

를 얻는다. 한편, $(18a)$에 $g^{\nu \lambda }$를 곱한 다음 $\nu$에 대하여 더하면,

$\sum _{\alpha \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\nu \lambda }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\right)-\sum _{\alpha \beta \nu }g^{\nu \beta }\Gamma _{\nu \mu }^{\alpha }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }=-\varkappa \,T_{\mu }^{\lambda }$

를 얻는다. 또는 $(22b)$를 고려하면

$\sum _{\alpha \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\nu \lambda }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\right)-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\lambda }\sum _{\mu \nu \alpha \beta }g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }\Gamma _{\nu \alpha }^{\beta }=-\varkappa \,\left(T_{\mu }^{\lambda }+t_{\mu }^{\lambda }\right)$

이다. $(22)$를 고려한 뒤, 간단한 재배열을 거치면

${\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\left[\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }\right]=0\quad ...(24)$

가 도출된다. 그러나, 우리는 이 이상의 것을 요구한다:

$\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}-\sum _{\sigma \tau \alpha \beta }g^{\sigma \tau }\Gamma _{\sigma \beta }^{\alpha }\Gamma _{\tau \alpha }^{\beta }=0\quad ...(24a)$

이 때 $(23)$은

$\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\alpha \beta }{\frac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\beta }}}\right)=-\varkappa \sum _{\sigma }T_{\sigma }^{\sigma }\quad ...(23a)$

가 된다. 방정식 $(23a)$는 ${\sqrt {-g}}=1$이 되도록 좌표계를 선택할 수 없음을 보여주는데, 에너지 텐서의 스칼라는 $0$이 될 수 없기 때문이다.

방정식 $(24a)$는 $g_{\mu \nu }$만으로 이루어진 관계식이다. 원래의 좌표계로부터 금지된 변환을 통해 얻은 새로운 좌표계에서는 성립하지 않을 것이다. 이 방정식은 따라서 다양체에 좌표계가 어떻게 놓여야 하는지를 보여준다.

§4. 이론의 물리적 특성에 관한 몇가지 언급.

방정식 $(24a)$의 $1$차 근사는

$\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}=0$

이다. 이것은 아직 좌표계를 고정시키지 않는데, 그러려면 $4$개의 방정식이 필요하기 때문이다. 우리는 따라서 $1$차 근사에 대하여 임의적으로

$\sum _{\beta }{\frac {\partial g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\quad ...(25)$

이라 둘 수 있다. 보다 간단하게 만들기 위해 허수 시간을 네번째 변수로 도입하고 싶다. 그러면 장방정식 $(18a)$는 $1$차 근사로

${\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}g_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }^{\,2}}}=\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18b)$

의 형태를 갖는다. 이로부터 이것이 $1$차 근사로 뉴턴 법칙을 포함한다는 것을 즉시 확인할 수 있다.

운동의 상대성이 실제로 새로운 이론에서 보존된다는 것은, 허용되는 변환 중 기존 계에 대한 새로운 계의 (임의로 변하는 각속도의) 회전에 대응하는 것, 그리고 새로운 계의 원점이 기존 계에 대하여 임의적으로 정해진 운동을 수행하는 것 또한 포함되기 때문이다.

실제로, 변환

${\begin{aligned}x'&=\,\,\,\,\,x\,\cos \,\tau +y\,\sin \,\tau \\y'&=-x\,\sin \,\tau +y\,\cos \,\tau \\z'&=z\\t'&=t\end{aligned}}$

그리고

${\begin{aligned}x'&=x-\tau _{1}\\y'&=y-\tau _{2}\\z'&=z-\tau _{3}\\t'&=t\end{aligned}}$

에서 $\tau$와 $\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3}$은 각각 $t$에 대한 임의의 함수이고 행렬식이 $1$인 변환이다.

보충(11월 11일)

일반 상대성 이론에 대하여 (보충)

Zur allgemeinen Relativitätstheorie (Nachtrag)

알베르트 아인슈타인
A.Einstein

최근 연구^[3]에서, 우리는 리만의 다차원 다양체에서의 공변 이론이 어떻게 중력장 이론의 기초로 활용될 수 있는지 살펴보았다. 이제, 여기에서는 물질의 구조에 관한 가히 대담한 추가 가설을 도입함으로써 이론에 대한 더욱 간결하고 논리적인 구조가 성취될 수 있음을 보이려고 한다.

그 정당성에 대하여 고려하고자 하는 가설은 다음 주제와 관련있다. "물질"의 에너지 텐서 $T_{\mu }^{\lambda }$는 스칼라 $\sum _{\mu }T_{\mu }^{\mu }$를 가지며, 이것이 전자기장에 대하여 사라진다는 것은 잘 알려져 있다. 반면, 일반적인 물질에 대해서는 $0$이 아닌 것으로 보인다. 왜냐하면, 가장 단순한 특수 사례, (압력을 무시한) "비이성적인" 연속 유체를 살펴보면 우리는 흔히

$T^{\mu \nu }={\sqrt {-g}}\rho _{0}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}$

라 쓰며, 또한

$\sum _{\mu }T_{\mu }^{\mu }=\sum _{\mu \nu }g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=\rho _{0}{\sqrt {-g}}$

를 얻는다. 이러한 접근에서 에너지 텐서의 스칼라는 사라지지 않는다.

여기에서, 우리의 지식에 따라 "물질"이 원시적으로 주어지고 물리적으로 단순한 무언가로 이해되어서는 안 된다는 것을 명심해야 한다. 심지어 (적지 않은 수의) 누군가는 물질을 순수히 전기동역학적 과정으로 바꾸기를 희망하는데, 이는 물론 맥스웰의 전기동역학보다 더 완전한 이론에서 이루어져야만 할 것이다. 이제 그러한 완성된 전기동역학에서는 에너지 텐서의 스칼라가 사라진다고 가정하자! 위에서 보여준 결과는 이 이론에서 물질이 구축될 수 없다는 것을 증명할까? 내 생각에는 이 질문에 아니라고 답할 수 있을 것 같다. 왜냐하면 기존 표현이 말하는 "물질"에서, 중력장은 중요한 요소를 차지하기 때문이다. 이 경우, $T_{\mu }^{\mu }$는 전체 구조에 대하여 양수로 나타날 수 있지만 실제로는 $(T_{\mu }^{\mu }+t_{\mu }^{\mu })$만이 양수이고 $T_{\mu }^{\mu }$는 모든 곳에서 사라지게 되는 것이다. 앞으로, 우리는 조건 $\sum T_{\mu }^{\mu }=0$이 실제로 일반적으로 참이라고 가정할 것이다.

중력장이 물질의 "핵심적인" 부분을 차지하는 것을 단정적으로 거부하는 사람이 아닌 한, 이 개념에 관한 강력한 증거를 다음에서 확인할 수 있을 것이다.^[4]

장방정식의 유도.

우리의 가설은 일반 상대성이라는 아이디어로 향하는 마지막 발걸음이 바람직하도록 해준다. 즉, 중력장 방정식을 "일반" 공변적인 형태로 쓸 수 있게 해준다. 나는 이전 논문에서 (식 $(14)$)

$G_{im}=\sum _{l}\left\{il,lm\right\}=R_{im}+S_{im}\quad ...(14)$

이 공변 텐서임을 보였다. 그리고

${\begin{aligned}R_{im}&=-\sum _{l}{\frac {\displaystyle \partial \left\{{im \atop l}\right\}}{\partial x_{l}}}+\sum _{\rho l}\left\{{il \atop \rho }\right\}\left\{{\rho m \atop l}\right\}\quad ...(14a)\\\\S_{im}&=\sum _{l}{\frac {\displaystyle \partial \left\{{il \atop l}\right\}}{\partial x_{m}}}-\sum _{\rho l}\left\{{im \atop \rho }\right\}\left\{{\rho l \atop l}\right\}\quad ...(14b)\end{aligned}}$

를 얻었다. 이 텐서 $G_{im}$은 중력의 일반 공변 방정식을 구축하는 데 사용될 수 있는 유일한 텐서이다.

우리는, 중력장 방정식이

$G_{\mu \nu }=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18b)$

가 되어야 한다는 것에 동의함으로써 일반 공변적인 중력장 방정식을 얻게 된다. 이는 절대 미분학이 제공하는 "물질" 과정에 대한 일반 공변적인 법칙과 함께 자연의 인과관계를, 이들 법칙을 구성하는 데 있어서 (논리적으로 자연 법칙과 아무런 관계가 없는) 좌표계의 어떠한 특별한 선택도 사용되지 않았다는 점을 강조하는 방식으로 표현한다.

이 체계를 바탕으로 (좌표계를 후향적으로 선택함으로써) 내가 최근 논문에서 구축한 법칙들로 돌아올 수 있으며, 이들 법칙은 실질적으로 아무런 변화도 없다. 왜냐하면, 우리는 명백히

${\sqrt {-g}}=1$

이 모든 곳에서 성립하도록 하는 새로운 좌표계를 도입할 수 있기 때문이다. 그러면 $S_{im}$은 사라지며 최근 논문의 장방정식

$R_{\mu \nu }=-\varkappa \,T_{\mu \nu }\quad ...(18)$

로 돌아온다. 절대 미분학의 공식들은 언급된 논문에서 보여준 방식 그대로 바뀌며, 우리의 좌표계 선택은 여전히 오로지 행렬식이 $1$인 변환만을 허용한다.

일반 공변성으로부터 유도된 장방정식과 최근 논문의 것 사이의 유일한 내용적 차이는 ${\sqrt {-g}}$의 값이 후자에서는 미리 정해질 수 없다는 것이다. 이 값은 그보다는 다음 방정식

$\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left(g^{\alpha \beta }{\frac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\beta }}}\right)=-\varkappa \sum _{\sigma }T_{\sigma }^{\sigma }\quad ...(23a)$

에 의해 결정되었다. 이 방정식은 여기에서 ${\sqrt {-g}}$가 오로지 에너지 텐서의 스칼라가 사라질 때에만 상수가 될 수 있음을 보여준다.

우리의 현 유도 과정에서는 좌표계를 임의적으로 선택할 수 있기 때문에 ${\sqrt {-g}}=1$이다. "물질" 에너지 텐서의 스칼라가 사라지는 것은 이제 식 $(23a)$가 아닌 우리의 장방정식의 결과가 된다. 우리의 출발점을 구성하는 일반 공변 장방정식 $(18b)$는, 도입부에서 설명했던 가설이 적용되었을 때에만 모순에 다다르지 않는다. 그러나, 그럴 경우 우리의 기존 장방정식에 다음의 제한 조건을 추가할 수 있다.

${\sqrt {-g}}=1\quad ...(23b)$

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1. "Die formale Grundlage der Relativitätstheorie," Sitzungsberichte 41 (1914), pp. 1066-1077. 앞으로 이 논문의 방정식들은 현재의 논문과 구분할 수 있도록 "${\text{l.c.}}$"라는 기호와 함께 인용한다.
2. 이 표현식이 텐서 성질을 갖는다는 간단한 증명은 내가 반복적으로 인용하는 논문의 p.1053에서 찾을 수 있다.
3. 같은 회의 보고서[Sitzungberichte], p.778.(상단 문서)
4. 이 논문을 쓸 때 나는 아직 가설 $\sum T_{\mu }^{\mu }=0$이 원론적으로 가능하다는 것을 알지 못했다.