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일반 상대성 이론에 대하여

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본문(11월 4일)

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일반 상대성 이론에 대하여

Zur allgemeinen Relativitätstheorie


알베르트 아인슈타인
A.Einstein


최근 몇 해 동안 나는 상대성 원리가 균일하지 않은 운동에도 적용된다는 것을 전제로 일반 상대성 이론의 기초를 세우려 노력하였다. 나는 실제로 일반 상대성 공준에 부합하는 유일한 중력 법칙을 찾았다고 믿었으며, 이 해법의 필연성을 작년 회의 보고서(Sitzungsberichte)에 제출한 논문[1]에서 보이려고 하였다.

새로운 비판을 통해, 나는 이러한 필연성을 그곳에서 제시했던 방법으로는 일절 증명할 수 없다는 것을 깨달았다. 그것을 해낸 것으로 보였던 것은 오류에 기반한 것이었다. 상대성 공준은, 내가 요구한대로라면, 해밀턴 원리를 바탕으로 했을 때 언제나 충족된다; 그러나, 실제에서 그것은 중력장의 해밀턴 함수 를 결정하는 어떠한 방법도 제공해주지 못한다. 실제로, 의 선택을 제한하는 방정식 가 선형 변환에 대해서 불변이어야 한다는 표현 이상도 이하도 아니며, 그러한 요구는 가속도의 상대성과는 하등 관계가 없다. 더 나아가, 방정식 에 의해 선택되었던 방정식 는 어떠한 수로도 고정되지 못한다.

이러한 이유들로 인해 나는 내가 유도했던 장 방정식에 대한 믿음을 잃었으며, 가능성을 제한할 수 있는 보다 자연스러운 방법을 모색하였다. 이러한 과정에서 나는 장 방정식이 보다 일반적인 공변성을 가져야 한다는 요구로 되돌아왔으며, 이는 3년 전 내 친구 그로스만과 함께 작업하였을 때 무거운 마음으로 포기한 것이었다. 사실, 우리는 그 때 이 문제의 해법에 거의 가까웠으며, 이는 다음에 제시될 것이다.

특수 상대성 이론이 선형 직교 변환에 대하여 모든 방정식들이 공변적이어야 한다는 공준을 바탕으로 하고 있듯이, 이곳에서 구축하는 이론은 모든 방정식이 행렬식이 인 모든 변환에 대하여 공변적이어야 한다는 공준을 바탕에 둔다.

이를 진정으로 이해했다면 누구도 그 매력에서 헤어나지 못할 것이다. 이것은 가우스, 리만, 리치, 레비치비타가 세운 일반미분학(절대미분학)의 진정한 승리를 선언하기 때문이다.

§1. 공변량을 만드는 법칙.

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작년의 내 논문에서 절대 미분학의 방법에 대한 자세한 설명을 제공했으므로, 공변량들을 생성하는 법칙에 대해서는 줄여도 괜찮을 것 같다. 그러므로 우리는 행렬식이 인 변환만이 허용되었을 때 무엇이 바뀌는지만 조사해도 된다. 모든 변환에 대하여 유효한 식



는 우리 이론의 전제, 즉



로 인해 이제



이고, 따라서 차원 부피소 는 불변량이다. 더 나아가 (방정식 ) 는 임의의 변환에 대하여 불변이므로, 우리가 관심을 갖는 군에 대하여



가 도출된다. 의 행렬식은 따라서 불변량이다. 의 스칼라 성질로 인해 일반 공변적인 공식과 비교하여 공변량을 구성하는 공식들을 단순화할 수 있다. 짧게 말해서, 인수 은 더이상 기본 공식들에 등장하지 않으며, 텐서와 -텐서의 구분은 제거된다. 특히 다음을 얻는다:


1. 텐서 ()는 이제 보다 간단한 구조를 갖는



으로 바뀐다.


2. 텐서의 확장에 관한 기본 공식 는 우리의 전제 하에서 더 간단한 것으로 교체되지는 않으나 (의 조합으로 표현되는) 발산을 정의하는 식은 간단화될 수 있다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.



그런데 에 따라서



이며, 이 양은 으로 인해 벡터의 성질을 갖는다. 결과적으로, 의 우변의 마지막 항은 그 자체로 랭크 의 반변 텐서이다. 우리는 따라서 를 발산에 대한 보다 간단한 정의로 바꿀 수 있다. 즉,



이며 앞으로도 이와 같이 할 것이다.

예를 들어, 정의



는 보다 간단한 정의



로 교체되어야 하며 반변 -벡터의 발산식 또한 더 간단한



가 되어야 한다. 대신, 우리의 가정에 의해



를 얻는다. 와 비교하면, 우리의 가정 속에서 발산 규칙은 일반 미분학에서의 -텐서에 관한 발산 규칙과 동일하다는 것을 알 수 있다. 이는 (로부터 유도되는) 어떤 텐서의 발산에도 적용된다.


3. 행렬식이 인 변환으로의 제한은 와 그 도함수로부터만 형성된 공변량들에 대한 가장 큰 수준의 단순화로 이어진다. 수학에서는 이러한 공변량들이 모두 랭크 의 리만-크리스토펠 텐서로부터 유도될 수 있음을 증명하였다. 이 텐서는 (공변 형태로) 다음과 같다:



중력의 문제는 우리가 이 랭크 의 텐서와 의 내적으로 만들어질 수 있는 랭크 -텐서들에 특별히 관심을 둔다는 것을 의미한다. 으로부터 명백한 리만 텐서의 대칭성, 즉



으로 인해 이러한 곱은 오직 한 가지 방법으로만 만들어질 수 있다. 이로써 텐서



을 얻는다. 우리의 목적을 위해서는 이 텐서를 크리스토펠이 제공한 의 다른 형태로부터 유도하는 것이 가치가 있다.[2] 즉,



이 텐서에 텐서



를 곱(내적)하면 을 얻는다. 즉,



이다. 행렬식이 인 변환으로 제한하면, 이 텐서일 뿐만 아니라, 또한 텐서의 성질을 갖는다. 이는 가 스칼라라는 사실과 으로 인해 이 공변 -벡터라는 사실로부터 나오는데, 여기에서 은, 때문에 이 -벡터의 확장에 지나지 않는다. 즉, 텐서이다. 가 텐서의 성질을 가지므로 로부터 또한 마찬가지이다. 후자의 텐서는 중력 이론에서 매우 중요하다.

§2. "물질" 과정의 미분 법칙에 관한 언급.

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1. (진공에서의 전자기 과정을 포함한) 물질에 관한 에너지-운동량 정리.

앞 절에서의 일반적인 고려사항에 의하면, 방정식



로 대체되어야 한다. 여기에서 는 일반적인 텐서이고, 는 일반적인 -벡터이다. (각각 텐서, -벡터가 아니다.) 이 방정식에 대하여, 앞으로 중요해지는 한 가지 언급을 덧붙이려 한다. 보존 법칙은 내가 과거에



를 중력장의 성분에 대한 자연스러운 표현으로 보게 만들었으나, 절대 미분학의 공식들에 따르면 이 대신 크리스토펠 기호



를 도입하는 것이 보다 명백하다. 전자의 견해는 치명적인 편견이었다. 크리스토펠 기호를 우선하는 것은 그 자체로 정당한 것으로, 특히 그 공변 첨수(여기에서는 )에 대하여 대칭적이라는 점, 근본적 중요성을 갖는 측지선 방정식 (이는 물리적 관점에서 중력장에서의 질점의 운동 방정식이다)에 등장한다는 점이 그러하다. 식 가 대체제가 될 수 없는 이유는 우변의 첫번째 항을



의 형태로 바꿀 수 있기 때문이다. 따라서, 이제부터는



를 중력장의 성분이라 부를 것이다. 가 모든 "물질" 과정에 대한 에너지 텐서를 나타낼 때 사라지며, 보존 정리



의 형태를 가진다.

중력장에 놓인 질점의 운동 방정식 이 다음 형태를 갖는 것을 주목한다.



2. 인용된 논문의 10절과 11절에서의 고려사항은 변동이 없다. 다만 -스칼라, -텐서라 부른 구조들은 이제 각각 일반적인 스칼라, 텐서이다.

§3. 중력장 방정식.

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지금까지 말한 것으로부터, 중력장 방정식이 다음의 형태인 것은 명확하다.



우리는 이 방정식이 행렬식이 인 임의의 변환에 대하여 공변적이라는 것을 이미 알고 있다. 실제로, 이 방정식은 우리가 요구하는 모든 조건들을 만족시킨다. 더 자세하게 쓰면, 으로부터



이다. 이제, 이 장방정식이 해밀토니언 형태



로 쓸 수 있다는 것을 보이려고 한다. 여기에서 에 대하여 변분하고, 는 상수로 취급해야 한다. 즉, 는 방정식



와 동치인데, 여기에서 의 함수로 여겨야 한다. 한편, 길지만 복잡하지 않은 계산을 진행하면 관계식



가 도출된다. 이것과 는 장방정식 를 제공한다.

이제, 에너지와 운동량의 보존 원리가 만족된다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 를 곱한 뒤 첨수 에 대하여 더해주면, 관례적인 재배열을 거쳐



를 얻는다. 한편 에 의하면, 물질의 "전체" 에너지 텐서에 대하여



를 얻는다. 마지막 두 방정식으로부터



이다. 여기에서



은 중력장의 "에너지 텐서"를 표현하는데, 이것은 오직 선형 변환에 대해서만 텐서의 성질을 갖는다. 간단한 재배열을 거쳐, 로부터



를 얻는다. 마지막으로, 장방정식으로부터 도출되는 두 스칼라 방정식을 유도하려고 한다. 를 곱한 다음 에 대하여 더하면, 간단한 재배열을 거쳐



를 얻는다. 한편, 를 곱한 다음 에 대하여 더하면,



를 얻는다. 또는 를 고려하면



이다. 를 고려한 뒤, 간단한 재배열을 거치면



가 도출된다. 그러나, 우리는 이 이상의 것을 요구한다:



이 때



가 된다. 방정식 이 되도록 좌표계를 선택할 수 없음을 보여주는데, 에너지 텐서의 스칼라는 이 될 수 없기 때문이다.

방정식 만으로 이루어진 관계식이다. 원래의 좌표계로부터 금지된 변환을 통해 얻은 새로운 좌표계에서는 성립하지 않을 것이다. 이 방정식은 따라서 다양체에 좌표계가 어떻게 놓여야 하는지를 보여준다.

§4. 이론의 물리적 특성에 관한 몇가지 언급.

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방정식 차 근사는



이다. 이것은 아직 좌표계를 고정시키지 않는데, 그러려면 개의 방정식이 필요하기 때문이다. 우리는 따라서 차 근사에 대하여 임의적으로



이라 둘 수 있다. 보다 간단하게 만들기 위해 허수 시간을 네번째 변수로 도입하고 싶다. 그러면 장방정식 차 근사로



의 형태를 갖는다. 이로부터 이것이 차 근사로 뉴턴 법칙을 포함한다는 것을 즉시 확인할 수 있다.

운동의 상대성이 실제로 새로운 이론에서 보존된다는 것은, 허용되는 변환 중 기존 계에 대한 새로운 계의 (임의로 변하는 각속도의) 회전에 대응하는 것, 그리고 새로운 계의 원점이 기존 계에 대하여 임의적으로 정해진 운동을 수행하는 것 또한 포함되기 때문이다.

실제로, 변환



그리고



에서 은 각각 에 대한 임의의 함수이고 행렬식이 인 변환이다.

보충(11월 11일)

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일반 상대성 이론에 대하여 (보충)

Zur allgemeinen Relativitätstheorie (Nachtrag)


알베르트 아인슈타인
A.Einstein


최근 연구[3]에서, 우리는 리만의 다차원 다양체에서의 공변 이론이 어떻게 중력장 이론의 기초로 활용될 수 있는지 살펴보았다. 이제, 여기에서는 물질의 구조에 관한 가히 대담한 추가 가설을 도입함으로써 이론에 대한 더욱 간결하고 논리적인 구조가 성취될 수 있음을 보이려고 한다.

그 정당성에 대하여 고려하고자 하는 가설은 다음 주제와 관련있다. "물질"의 에너지 텐서 는 스칼라 를 가지며, 이것이 전자기장에 대하여 사라진다는 것은 잘 알려져 있다. 반면, 일반적인 물질에 대해서는 이 아닌 것으로 보인다. 왜냐하면, 가장 단순한 특수 사례, (압력을 무시한) "비이성적인" 연속 유체를 살펴보면 우리는 흔히



라 쓰며, 또한



를 얻는다. 이러한 접근에서 에너지 텐서의 스칼라는 사라지지 않는다.

여기에서, 우리의 지식에 따라 "물질"이 원시적으로 주어지고 물리적으로 단순한 무언가로 이해되어서는 안 된다는 것을 명심해야 한다. 심지어 (적지 않은 수의) 누군가는 물질을 순수히 전기동역학적 과정으로 바꾸기를 희망하는데, 이는 물론 맥스웰의 전기동역학보다 더 완전한 이론에서 이루어져야만 할 것이다. 이제 그러한 완성된 전기동역학에서는 에너지 텐서의 스칼라가 사라진다고 가정하자! 위에서 보여준 결과는 이 이론에서 물질이 구축될 수 없다는 것을 증명할까? 내 생각에는 이 질문에 아니라고 답할 수 있을 것 같다. 왜냐하면 기존 표현이 말하는 "물질"에서, 중력장은 중요한 요소를 차지하기 때문이다. 이 경우, 는 전체 구조에 대하여 양수로 나타날 수 있지만 실제로는 만이 양수이고 는 모든 곳에서 사라지게 되는 것이다. 앞으로, 우리는 조건 이 실제로 일반적으로 참이라고 가정할 것이다.

중력장이 물질의 "핵심적인" 부분을 차지하는 것을 단정적으로 거부하는 사람이 아닌 한, 이 개념에 관한 강력한 증거를 다음에서 확인할 수 있을 것이다.[4]

장방정식의 유도.

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우리의 가설은 일반 상대성이라는 아이디어로 향하는 마지막 발걸음이 바람직하도록 해준다. 즉, 중력장 방정식을 "일반" 공변적인 형태로 쓸 수 있게 해준다. 나는 이전 논문에서 (식 )



이 공변 텐서임을 보였다. 그리고



를 얻었다. 이 텐서 은 중력의 일반 공변 방정식을 구축하는 데 사용될 수 있는 유일한 텐서이다.

우리는, 중력장 방정식이



가 되어야 한다는 것에 동의함으로써 일반 공변적인 중력장 방정식을 얻게 된다. 이는 절대 미분학이 제공하는 "물질" 과정에 대한 일반 공변적인 법칙과 함께 자연의 인과관계를, 이들 법칙을 구성하는 데 있어서 (논리적으로 자연 법칙과 아무런 관계가 없는) 좌표계의 어떠한 특별한 선택도 사용되지 않았다는 점을 강조하는 방식으로 표현한다.

이 체계를 바탕으로 (좌표계를 후향적으로 선택함으로써) 내가 최근 논문에서 구축한 법칙들로 돌아올 수 있으며, 이들 법칙은 실질적으로 아무런 변화도 없다. 왜냐하면, 우리는 명백히



이 모든 곳에서 성립하도록 하는 새로운 좌표계를 도입할 수 있기 때문이다. 그러면 은 사라지며 최근 논문의 장방정식



로 돌아온다. 절대 미분학의 공식들은 언급된 논문에서 보여준 방식 그대로 바뀌며, 우리의 좌표계 선택은 여전히 오로지 행렬식이 인 변환만을 허용한다.

일반 공변성으로부터 유도된 장방정식과 최근 논문의 것 사이의 유일한 내용적 차이는 의 값이 후자에서는 미리 정해질 수 없다는 것이다. 이 값은 그보다는 다음 방정식



에 의해 결정되었다. 이 방정식은 여기에서 가 오로지 에너지 텐서의 스칼라가 사라질 때에만 상수가 될 수 있음을 보여준다.

우리의 현 유도 과정에서는 좌표계를 임의적으로 선택할 수 있기 때문에 이다. "물질" 에너지 텐서의 스칼라가 사라지는 것은 이제 식 가 아닌 우리의 장방정식의 결과가 된다. 우리의 출발점을 구성하는 일반 공변 장방정식 는, 도입부에서 설명했던 가설이 적용되었을 때에만 모순에 다다르지 않는다. 그러나, 그럴 경우 우리의 기존 장방정식에 다음의 제한 조건을 추가할 수 있다.




  1. "Die formale Grundlage der Relativitätstheorie," Sitzungsberichte 41 (1914), pp. 1066-1077. 앞으로 이 논문의 방정식들은 현재의 논문과 구분할 수 있도록 ""라는 기호와 함께 인용한다.
  2. 이 표현식이 텐서 성질을 갖는다는 간단한 증명은 내가 반복적으로 인용하는 논문의 p.1053에서 찾을 수 있다.
  3. 같은 회의 보고서[Sitzungberichte], p.778.(상단 문서)
  4. 이 논문을 쓸 때 나는 아직 가설 이 원론적으로 가능하다는 것을 알지 못했다.