일반 상대성 이론에 대한 우주론적 고찰

일반 상대성 이론에 대한 우주론적 고찰

Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie

알베르트 아인슈타인
A.Einstein

푸아송 방정식

$\Delta \phi =4\pi K\rho \quad ...(1)$

과 질점의 운동 방정식의 결합이 뉴턴의 원격 작용 이론을 완벽히 대체하지 못한다는 사실은 잘 알려져 있다. 여기에는 공간적 무한대에서 퍼텐셜 $\phi$가 고정된 극한값으로 수렴한다는 조건을 추가적으로 고려해야 한다. 일반 상대성 이론의 중력 이론에도 유사한 상황이 있다. 여기에서도 우리는, 만약 우주를 공간적으로 무한하다고 여기고 싶다면, 반드시 미분 방정식들을 공간적 무한대에서의 극한 조건으로 보충해야 한다.

행성 문제에 대한 나의 논의에서, 나는 이 극한 조건을 다음 가정의 형태로 선택하였다: 좌표계를 적당히 선택하여 공간적 무한대에서 모든 중력 퍼텐셜 $g_{\mu \nu }$가 상수가 되도록 할 수 있다. 하지만 우리가 물리적 우주의 보다 넓은 범위를 고려하고자 할 때에도 동일한 극한 조건을 규정할 수 있으리란 것은 어떤 수로도 선험적으로 보장될 수 없다. 다음 장에서는 이 근본적으로 중요한 문제에 대한, 현 시점까지의 나의 생각을 제시할 것이다.

§1. 뉴턴 이론.

공간적 무한대에서 $\phi$가 상수 극한값을 갖는다는 뉴턴의 극한 조건은 물질의 밀도가 무한대에서 $0$이 된다는 관점으로 이어진다는 것이 잘 알려져 있다. 우주 공간의 어떤 장소에서 그 주변은 물질의 중력장이, 큰 범위에서 봤을 때, 구형 대칭을 가진다고 생각해보자. 그러면 푸아송 방정식으로부터 $\phi$가 무한대에서 극한값을 가지려면, 중심으로부터의 거리 $r$이 증가하는 동안 평균 밀도 $\rho$는 $1/r^{2}$보다 빠르게 $0$으로 감소해야 할 것이다. 따라서 이러한 관점에서, 뉴턴에 의한 우주는 유한하다. 다만 이는 무한히 큰 총 질량을 갖고 있을 수도 있다.

이로부터, 무엇보다도 천체들로부터 방출되는 복사는 부분적으로 뉴턴의 우주를 벗어나 방사상으로 뻗어나가며 영향력을 잃고 무한대에서 사라진다는 결론을 얻는다. 전체 천체에서는 이와 같은 일이 일어날 수 없을까? 이 질문에 대해 부정적으로 답하는 것은 거의 불가능하다. 왜냐하면 공간적 무한대에서 $\phi$가 유한한 극한을 가진다는 가정으로부터 유한한 운동에너지를 가진 천체가 뉴턴의 인력을 극복하고 공간적 무한대로 도달할 수 있다는 결론을 얻기 때문이다. 통계 역학에 따르면, 항성계의 총 에너지가 충분히 커서 (어느 한 천체에 그것을 옮겨놓았을 때) 천체를 무한대로 떠나 보내고 그곳에서 돌아오지 못하게 할 수 있는 한, 이 상황은 시간의 흐름에 따라 지속적으로 일어나야 한다.

우리는 무한대에서의 극한 퍼텐셜이 매우 큰 값을 가진다고 가정함으로써 이 독특한 어려움을 회피할 수 있다. 중력 퍼텐셜의 값이 그 자체로 천체들에 의해 결정될 필요가 없다면 가능한 길일 것이다. 사실을 말하자면, 중력장의 퍼텐셜에 생기는 어떠한 큰 차이도 실제에 어긋난다고 볼 수밖에 없다. 이 차이는 매우 작아서 그것이 만드는 항성의 속도가 실제로 관측되는 속력을 넘지 않게 해야 한다.

기체 분자의 분포에 관한 볼츠만의 법칙을 항성에 적용하면, 항성계를 열적 평형에 놓인 기체와 비교함으로써 뉴턴의 항성계가 절대로 존재할 수 없다는 것을 확인할 수 있다. 중심과 공간적 무한대 사이의 퍼텐셜의 유한한 차이에 유한한 비율의 밀도가 대응하기 때문이다. 무한대에서 밀도가 사라진다는 것은 중심에서도 밀도가 사라진다는 것을 의미한다.

뉴턴 이론에 기반하여 이 문제들을 극복하는 것은 거의 불가능해 보인다. 우리는 뉴턴 이론을 수정하여 이 문제를 제거할 수 있는지 스스로 질문할 수 있다. 먼저, 그 자체로는 진지하게 받아들일 필요는 없는 한 가지 방법을 제시하려 한다; 이것은 단지 앞으로 제시되는 것을 돋보여주는 수단이다. 푸아송 방정식 대신 다음과 같이 쓴다.

$\Delta \phi -\lambda \phi =4\pi K\rho \quad ...(2)$

여기에서 $\lambda$는 보편적인 상수이다. $\rho _{0}$이 질량 분포의 균일한 밀도라면,

$\phi =-{\frac {4\pi K}{\lambda }}\rho _{0}\quad ...(3)$

은 방정식 $(2)$의 한 가지 해이다. 만약 밀도 $\rho _{0}$이 우주 속 물질의 실제 평균 밀도를 나타낸다면, 이 해는 항성들의 물질이 공간을 따라 균일하게 분포된 상황에 대응될 것이다. 이 해는 그렇다면 중심 공간이 무한히 확장되고 물질로 균일하게 채워진 상황에 대응된다. 만약, 평균 밀도를 변화시키지 않은 상태에서, 물질이 국소적으로 불균일하게 분포한다고 상상하면 $\phi$가 방정식 $(3)$의 상수값을 가짐과 더불어 보다 밀도가 높은 질량들의 근방에 위치한 추가적인 $\phi$는 $\lambda \phi$가 $4\pi K\rho$에 비해 작으므로 훨씬 뉴턴 장을 닮았을 것이다.

이와 같이 구성된 우주는 이 중력장에 대하여, 중심을 갖지 않을 것이다. 공간적 무한대에서의 밀도 감소는 가정될 필요가 없으며, 평균 퍼텐셜과 평균 밀도 둘 다 무한대에서 상수를 유지할 것이다. 뉴턴 이론의 상황에서 우리가 찾은 통계 역학과의 충돌은 반복되지 않는다. 정해져 있지만 매우 작은 밀도를 가지는 이 물질은 평형 상태에 있으며, 이 평형 상태를 유지하기 위한 어떠한 내부의 물질적 힘(압력)도 필요하지 않다.

§2. 일반 상대성 이론에 따른 경계 조건.

이 절에서 나는 독자들에게 나 스스로가 거쳐온 다소 거칠고 구불구불한 길을 안내해주고자 하는데, 다른 방법으로는 이들이 여정의 끝에 자리한 결과에 특별한 관심을 가질 것 같지 않기 때문이다. 내가 도달하고자 하는 결론은 지금까지 내가 옹호해온 장 방정식에 아직 약간의 수정이 필요하다는 것이며, 이로부터 일반 상대성 이론을 기반으로 §1에서 뉴턴 이론에 닥친 문제로 제시된 이러한 근본적 어려움들을 회피할 수 있다는 것이다. 이 수정은 §1에서 푸아송 방정식 $(1)$을 방정식 $(2)$로 바꾼 것과 완벽히 대응된다. 마지막으로 우리는 공간적 무한대에서의 경계조건이 함께 사라진다는 것을 추론해 내는데, 우주 연속체의 공간 차원을 유한한 공간적($3$차원적) 부피를 갖는 독립적 연속체로 볼 것이기 때문이다.

공간적 무한대에 주어지는 극한 조건에 관하여 최근까지 내가 품어온 의견은 다음 고려사항을 바탕으로 한다. 상대성 이론에서는 "공간"에 대한 관성은 있을 수 없으며, 서로에 대한 관성만이 존재한다. 따라서, 만약 우주의 다른 모든 질량으로부터 어떤 질량을 충분한 거리만큼 떨어뜨려 놓으면, 그 관성은 $0$으로 떨어져야 한다. 우리는 이 조건을 수학적으로 표현해보고자 시도할 것이다.

일반 상대성 이론에 따르면 공변 텐서를 ${\sqrt {-g}}$로 곱한

$m{\sqrt {-g}}\,g_{\mu \alpha }{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}\quad ...(4)$

에 대하여 (음의) 운동량은 그 첫 세 성분, 에너지는 그 마지막 성분으로 주어진다. 여기에서, 언제나처럼

$ds^{2}=g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu }\quad ...(5)$

라 둔다. 특별히 명료한, 모든 점에서 중력장이 공간적으로 등방적이도록 좌표계를 선택할 수 있는 경우에서 우리는 더 간단하게

$ds^{2}=-A(dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2})+B\,dx_{4}^{2}$

을 얻는다. 만약, 더 나아가서

${\sqrt {-g}}=1={\sqrt {A^{3}B}}$

도 성립할 경우 $(4)$로부터, 작은 속도에 관한 일차 근사로

$m{\frac {A}{\sqrt {B}}}{\frac {dx_{1}}{dx_{4}}}\quad m{\frac {A}{\sqrt {B}}}{\frac {dx_{2}}{dx_{4}}}\quad m{\frac {A}{\sqrt {B}}}{\frac {dx_{3}}{dx_{4}}}$

를 운동량의 성분으로, 에너지에 대해서는 (정적인 경우에)

$m{\sqrt {-g}}$

를 얻는다.

운동량의 표현식으로부터, $m{\frac {A}{\sqrt {B}}}$가 정지 질량의 역할을 한다는 결론을 얻는다. $m$이 질량이 위치한 점의 고유한, 그 위치에 독립적인 상수라면, (공간적 무한대에서 조건 ${\sqrt {-g}}=1$을 유지한다면) $B$가 무한대로 증가하는 동안 $A$가 $0$으로 사라져야만 이 표현식은 사라진다. 따라서, 이렇게 계수 $g_{\mu \nu }$가 사라지는 것은 관성에 관한 상대성의 공준에 의해 요구되는 것으로 보인다. 이 요구는 퍼텐셜 에너지 $m{\sqrt {B}}$가 무한대에서 무한히 커지는 것을 시사한다. 따라서 질점은 결코 계를 벗어날 수 없다. 또한 더 자세히 살펴보면 광선에도 똑같은 사실이 적용된다는 것을 알 수 있다. 무한대에서 이와 같이 거동하는 중력장을 갖는 우주의 계는 따라서 뉴턴 이론에서 논의된 황폐화의 위험에 노출되지 않을 것이다.

나는 이 추론이 바탕으로 하는 중력 퍼텐셜에 관한 단순화 가정이 오로지 명료화를 위해서만 도입되었다는 것을 강조하고자 한다. 추가적인 제한적 가정 없이도 문제의 본질을 표현하는 무한대에서의 $g_{\mu \nu }$의 거동에 관한 일반적인 형식화가 가능하다.

이 단계에 있어서, 수학자 J.그로머[J. Grommer]의 친절한 도움으로 나는 중심에 대하여 대칭적이고 정적이며 언급된 방식으로 무한대에서 사라지는 중력장에 대하여 조사하였으며, 중력 퍼텐셜 $g_{\mu \nu }$을 적용하고, 그로부터 물질의 에너지 텐서 $T_{\mu \nu }$을 중력장 방정식을 통해 계산하였다. 그러나, 항성계에 대하여 이러한 종류의 경계 조건은 고려될 수 없다는 것이 명백해졌으며, 천문학자 드 지터(De Sitter) 또한 이 부분을 최근 올바르게 지적하였다.

질량을 가진 물질의 반변 에너지 텐서 $T^{\mu \nu }$는

$T^{\mu \nu }=\rho {\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}$

로 주어진다. 여기에서 $\rho$는 자연적으로 측정된 물질의 밀도이다. 좌표계를 적절하게 선택하면 별의 속도는 빛의 속도에 비해 매우 작다. 따라서, ${\sqrt {g_{44}}}dx_{4}$를 $ds$로 대체할 수 있다. 이는 $T^{\mu \nu }$의 모든 성분이 마지막 성분 $T^{44}$와 비교하여 매우 작아야 한다는 것을 보여준다. 그러나, 이 사실을 주어진 경계 조건과 결합시키는 것은 불가능했다. 돌이켜보면 이 결과는 놀랍지 않다. 별들의 속도가 작다는 것은, 항성들이 있는 어느 곳이든 중력 퍼텐셜(우리의 경우 ${\sqrt {B}}$)이 지구의 이곳에 비해 절대 커서는 안된다는 결론으로 이어진다. 이는 뉴턴 이론의 경우와 마찬가지로 통계적인 추론으로 얻을 수 있다. 어쨌든, 우리의 계산은 공간적 무한대에서 $g_{\mu \nu }$가 사라져야 한다는 조건은 공준으로 삼을 수 없다는 것을 내게 확신시켜 주었다.

이러한 시도가 실패한 다음, 처음에는 두 가지의 가능성이 자연스럽게 떠오른다.

${\text{a}})$ 행성에서의 문제처럼, 좌표계를 적당히 선택하여 공간적 무한대에서 $g_{\mu \nu }$가

${\begin{array}{rrrr}-1&0&0&\,\,\,\,0\\0&-1&0&\,\,\,\,0\\0&0&-1&\,\,\,\,0\\0&0&0&\,\,\,\,1\end{array}}$

의 값으로 근사된다고 요구한다.

${\text{b}})$ 일반적으로 유효한 공간적 무한대에서의 경계 조건을 설정하는 것을 완전히 포기한다. 대신, 기존에 시간에 대한 초기 조건을 제시하는 것에 익숙했던 것처럼, 고려하는 정의역의 공간적 경계에서 $g_{\mu \nu }$를 개별 사례에서 따로 제시해야 한다.

가능성 ${\text{b}}$는 문제의 해결책을 제시하는 게 아니라, 오히려 포기하는 상황이다. 이는 반박될 수가 없는 입장으로, 드 지터가 현재 가지고 있는 견해이다.^[1] 하지만 이 근본적인 질문에 대한 완전한 포기는 내게 어려운 일이라는 것을 강조한다. 나는 만족스러운 관점을 향해 전진하려는 모든 노력이 허사라는 것이 증명될 때까지 그러한 방향으로 결정을 내리지 않으려고 한다.

가능성 ${\text{a}}$는 여러 측면에서 만족스럽지 않다. 첫번째로, 이 경계 조건은 좌표계의 특정한 선택을 전제로 하고 있으며, 이는 상대성 원리의 정신에 어긋난다. 두번째로, 이 견해를 수용하면 관성의 상대성에 관한 요구를 만족시키는 데 실패한다. (자연적으로 측정된) 질량 $m$을 갖는 질점의 관성은 $g_{\mu \nu }$에 의존한다. 그러나 이들은 위에서 주어졌듯이 공간적 무한대에서 가정된 값으로부터 조금씩만 다르다. 따라서 관성은 영향을 받지만, (유한한 공간에 놓인) 물질에 의한 것은 아니게 된다. 이 관점에 따르면, 만약 오직 하나의 질점이 주어지면 이는 관성을 갖게 되며 이 관성은 거의 실제 우주의 다른 질량들로부터 둘러쌓였을 때만큼 클 것이다. 마지막으로, 뉴턴 이론에서 제기되었던 것처럼 통계적 반박도 제기되어야 한다.

지금까지 말한 내용에 근거하면, 공간적 무한대에서의 경계 조건을 설정하는 데 실패했다는 것이 분명하다. 그럼에도, ${\text{b}})$처럼 포기하지 않고, 한 가지 탈출하는 방법이 존재한다. 우주를 공간 차원에 대하여 유한한(닫힌) 연속체로 볼 수 있다면, 우리는 이러한 경계 조건이 전혀 필요하지 않다. 다음에서는 일반 상대성 공준과 별의 속도가 매우 작다는 사실 둘 다 공간적으로 유한한 우주의 가설과 양립할 수 있다는 것을 보이려고 한다. 다만, 이 발상을 구현해내기 위해서는 중력장 방정식을 일반화하는 수정이 필요하다.

§3. 균일한 물질 분포의 공간적으로 유한한 우주.

일반 상대성 이론에 의하면 $4$차원 시공간 연속체의 측지적 성질(곡률)은 각 점에서 그 점에 위치한 물질과 그 물질의 상태에 의해 결정된다. 따라서, 물질 분포의 균일성의 부재로 인해, 이 연속체의 측지적 구조는 매우 복잡해야만 한다. 그러나 구조를 매우 거대한 범위에서만 고려할 경우, 우리는 물질을 광활한 공간에 걸쳐 균일하게 분포되도록 나타낼 수 있으며, 그로써 그 분포 밀도는 변화 속도가 매우 느린 함수가 되도록 할 수 있다. 따라서 우리의 과정은 어떤 면에서는 작은 범위에서는 매우 복잡한 지구 표면의 형태를 타원체로 근사시키는 측지학자들의 것과 유사하다.

우리가 경험으로부터 얻은 물질의 분포에 관한 가장 중요한 사실은 별들의 상대 속도가 광속에 비해 매우 작다는 것이다. 따라서, 현재로써는 우리의 논의를 다음의 근사적 가정을 바탕에 두어야 한다고 생각한다. "물질들이 영구적으로 정지한 것으로 보이는 좌표계가 존재한다." 따라서, 이 계에 대하여 물질의 반변 에너지 텐서 $T^{\mu \nu }$는 $(5)$로 인해 다음의 단순한 형태를 갖는다.

$\left.{\begin{array}{rrrr}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&\rho \end{array}}\,\right\}\quad ...(6)$

분포의 (평균) 밀도를 나타내는 스칼라 $\rho$는 선험적으로 공간 좌표의 함수일 것이다. 그러나 우주가 공간적으로 유한하다고 가정한다면, 우리는 $\rho$가 위치에 독립적이라는 가설로 유도된다. 이 가설을 바탕으로 우리는 다음을 고려해본다.

중력장에 관한 한, 질점의 운동 방정식

${\frac {d^{2}x_{\nu }}{ds^{2}}}+\left\{{\alpha \beta \atop \nu }\right\}{\frac {dx_{\alpha }}{ds}}{\frac {dx_{\beta }}{ds}}=0$

으로부터 정적 중력장에서 한 질점은 $g_{44}$가 위치에 독립적일 경우에만 정지 상태를 유지할 수 있다는 것을 알 수 있다. 더 나아가, 우리는 시간 좌표 $x_{4}$의 모든 좌표 값에 대한 독립성을 가정하므로, 요구되는 해에 대하여, 모든 $x_{\nu }$에 대하여

$x_{44}=1\quad ...(7)$

을 요구할 수 있다. 더 나아가 정적인 문제에서 언제나 그랬듯

$g_{14}=g_{24}=g_{34}=0\quad ...(8)$

라 두자. 이제 중력장의 성분 중 순수하게 우리 연속체의 공간-기하학적 관계를 정의하는 $(g_{11},g_{12}\cdot \cdot \cdot \cdot \,g_{44})$만 결정하는 문제가 남았다. 장을 형성하는 질량 분포의 균일성에 관한 우리의 가정에 의해, 요구되는 공간의 곡률이 일정해야한다는 결론을 얻는다. 따라서 이 질량 분포에 의해, 우리가 원하는 $x_{1},x_{2},x_{3}$과 정해진 값의 $x_{4}$로 주어지는 유한한 연속체는 구형 공간일 것이다.

우리는 그러한 공간에, 예를 들어 다음 방식으로 도달하게 된다. $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4}$와 선소 $d\sigma$로 이루어진 $4$차원 유클리드 공간으로부터 시작한다. 따라서,

$d\sigma ^{2}=d\xi _{1}^{2}+d\xi _{2}^{2}+d\xi _{3}^{2}+d\xi _{4}^{2}\quad ...(9)$

라 둔다. 이 공간에 초곡면

$R^{2}=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}+\xi _{4}^{2}\quad ...(10)$

을 고려한다. 여기에서 $R$는 상수이다. 이 초곡면의 점들은 곡률 반지름 $R$의 구형 공간인 $3$차원 연속체를 형성한다.

우리가 출발했던 $4$차원 유클리드 공간은 오직 우리의 초곡면을 편리하게 정의하기 위해서만 존재한다. 측지적 성질이 물질이 균일한 분포한 공간의 것과 일치하는 초곡면의 점들만이 우리의 관심의 대상이다. 이 $3$차원 연속체를 묘사하기 위해 좌표 $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3}$ (초곡면 $\xi _{4}=0$으로의 사영)을 도입할 수 있는데, $(10)$으로 인해 $\xi _{4}$는 $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3}$에 대하여 표현될 수 있기 때문이다. $(9)$에서 $\xi _{4}$를 제거하면, 구형 공간의 선소에 대한 표현

$\left.{\begin{aligned}\displaystyle d\sigma ^{2}&=\gamma _{\mu \nu }d\xi _{\mu }d\xi _{\nu }\\\displaystyle \gamma _{\mu \nu }&=\delta _{\mu \nu }+{\frac {\xi _{\mu }\xi _{\nu }}{R^{2}-\rho ^{2}}}\end{aligned}}\right\}\quad ...(11)$

를 얻는다. 여기에서 $\mu =\nu$일 때 $\delta _{\mu \nu }=1$, $\mu \neq \nu$일 때 $\delta _{\mu \nu }=0$이며, $\rho ^{2}=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}$이다. 선택된 좌표는 $\xi _{1}=\xi _{2}=\xi _{3}=0$인 두 점 중 어느 하나의 상황을 조사하고자 할 때 편리하다.

이제 요구되는 $4$차원 시공간 우주의 선소 또한 우리의 손에 주어졌다. 두 첨수가 모두 $4$와 다른 퍼텐셜 $g_{\mu \nu }$에 대하여, 우리는 다음과 같이 둔다.

$g_{\mu \nu }=-\left(\delta _{\mu \nu }+{\frac {x_{\mu }x_{\nu }}{R^{2}-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})}}\right)\quad ...(12)$

이 방정식은 $(7)$, $(8)$과 함께 측정 막대와 시계, 그리고 광선의 거동을 완벽하게 결정한다.

§4. 중력장 방정식의 추가 항에 대하여.

내가 제안한 임의로 선택된 좌표계에 대한 중력장 방정식은 다음과 같다:

$\displaystyle \left.{\begin{aligned}G_{\mu \nu }=&\displaystyle \,-\varkappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)\\\\G_{\mu \nu }=&\displaystyle \,-{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left\{{\mu \nu \atop \alpha }\right\}+\left\{{\mu \alpha \atop \beta }\right\}\left\{{\nu \beta \atop \alpha }\right\}\\\\&\displaystyle \,+{\frac {\partial ^{2}\log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}-\left\{{\mu \nu \atop \alpha }\right\}{\frac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\alpha }}}\end{aligned}}\right\}$$\quad ...(13)$

방정식계 $(13)$은 우리가 $g_{\mu \nu }$에 $(7)$, $(8)$, $(12)$에서 주어진 값을 대입하고, (반변) 물질의 에너지 텐서에 $(6)$에서 주어진 값을 대입하면 어떤 수로도 만족되지 않는다. 다음 절에서 어떻게 이 계산이 간편하게 이루어질 수 있는지 보일 것이다. 따라서, 내가 지금까지 이용한 장 방정식 $(13)$이 일반 상대성 공준과 양립할 수 있는 유일한 것이었다면, 우리는 상대성 이론이 공간적으로 유한한 우주의 가설을 허용하지 않는다는 결론을 내렸을 것이다.

그러나, 방정식계 $(13)$은 상대성 공준과 양립될 수 있는 명백한 확장을 허용하며, 이는 방정식 $(2)$로 주어진 푸아송 방정식의 확장과 완벽하게 대응된다. 장 방정식 $(13)$의 좌변에 우리는 근본 텐서 $g_{\mu \nu }$에 어떤 (현재는 알려지지 않은) 보편 상수 $-\lambda$를 (일반 공변성을 파괴하지 않고서) 더할 수 있다. 장 방정식 $(13)$ 대신 다음과 같이 쓴다.

$G_{\mu \nu }-\lambda g_{\mu \nu }=-\varkappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)\quad ...(13a)$

이 장 방정식은, $\lambda$가 충분히 작다면, 어찌되든 태양계로부터 얻어진 경험적 사실들과도 합치된다. 이는 운동량과 에너지의 보존법칙도 만족시키는데, $(13)$에서 $(13a)$을 얻기 위해서는 해밀턴 원리에 리만 텐서의 스칼라 대신 이 스칼라에 보편 상수를 더한 것을 대입하면 되기 때문이다. 그리고 해밀턴 원리는, 물론 보존 법칙의 유효성을 보장한다. §5에서는 장 방정식 $(13a)$가 장과 물질에 관한 우리의 추측과 양립될 수 있다는 것을 보일 것이다.

§5. 계산과 결과.

우리의 연속체의 모든 점은 동등한 지위를 가지므로, 단 하나의 점, 즉

$x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0$

인 두 점 중 하나에서만 계산을 수행해도 충분하다. 그러면 $(13a)$에서의 $g_{\mu \nu }$에는 미분이 한 번만 되었거나 한 번도 되지 않은 경우마다

${\begin{array}{rrrr}-1&0&0&\,\,\,\,0\\0&-1&0&\,\,\,\,0\\0&0&-1&\,\,\,\,0\\0&0&0&\,\,\,\,1\end{array}}$

의 값을 대입해야 한다.

따라서 우리는 첫번째로

$G_{\mu \nu }={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left[{\mu \nu \atop 1}\right]+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left[{\mu \nu \atop 2}\right]+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left[{\mu \nu \atop 3}\right]+{\frac {\partial ^{2}\log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}$

를 얻는다. 이로부터 우리는 $(7)$, $(8)$, $(13)$을 고려했을 때 $(13a)$의 모든 방정식이 다음과 같은 두 관계

$-{\frac {2}{R^{2}}}+\lambda =-{\frac {\varkappa \rho }{2}},\quad -\lambda =-{\frac {\varkappa \rho }{2}}$

혹은

$\lambda ={\frac {\varkappa \rho }{2}}={\frac {1}{R^{2}}}\quad ...(14)$

가 충족되었을 때 만족된다는 사실을 쉽게 발견하게 된다.

따라서 새로이 도입된 보편 상수 $\lambda$는 평형에 놓일 수 있는 평균 분포 밀도 $\rho$와 구형 공간의 반지름 $R$과 부피 $2\pi ^{2}R^{3}$을 동시에 정의한다. 우주의 총 질량 $M$은, 우리의 관점에 의하면 유한하며, 정확히는

$M=\rho \cdot 2\pi ^{2}R^{3}=4\pi ^{2}{\frac {R}{\varkappa }}=\pi ^{2}{\sqrt {\frac {32}{\varkappa ^{3}\rho }}}\quad ...(15)$

이다.

따라서 실제 우주에 관한 이론적 견해는, 우리의 추론에 근거한다면, 다음과 같다. 공간의 곡률은 물질의 분포에 의해 시간과 장소에 따라 달라지지만, 구형 공간으로 그것을 거칠게 근사시킬 수 있다. 어떻든 간에 이 견해는 논리적으로 일관적이며, 일반 상대성 이론의 관점에서 가장 손 위에 가깝게 놓인다. 현재의 천문학적 지식의 관점에서 이것이 유효한지는 여기서 논의하지 않을 것이다. 이 일관적인 관점에 도달하기 위해서 우리는 명백히 중력장 방정식의 확장을 도입해야만 했고, 이는 우리의 중력에 관한 실제 지식으로는 정당화되지 않는다. 그러나, 공간의 양의 곡률은 보조적인 항이 도입되지 않더라도 우리의 결과로 도출된다는 것을 강조한다. 이 항은 오로지 별들의 속력이 매우 작다는 사실이 요구하는, 물질의 준-정적(quasi-statische)인 분포가 가능하도록 하려는 목적에서만 필요하다.

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1. DE SITTER, Akad. van Wetensch. Te Amsterdam, 8. November 1916.