번역:중력장 방정식의 근사적 적분법

중력장 방정식의 근사적 적분법

Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation

알베르트 아인슈타인
A.Einstein

중력 이론 분야에서 대부분의 특수한(원리적이지 않은) 문제들을 다루는 데에 있어서는 $g_{\mu \nu }$를 일차 근사로 계산하는 것으로 만족할 수 있다. 특수 상대성 이론에서와 마찬가지의 이유로, 허수 시간 변수 $x_{4}=it$를 사용하면 이로운 점이 있다. "일차 근사"라 함은, 방정식

$g_{\mu \nu }=-\delta _{\mu \nu }+\gamma _{\mu \nu }$

$(1)$

로 정의된 양 $\gamma _{\mu \nu }$가 $1$과 비교하여 작아서 그것의 제곱과 여타 곱이 $1$제곱과 비교해 무시할 수 있다는 것을 의미한다. 또한, 이들은 선형 직교 변환 하에 텐서의 성질을 갖는다. 추가로, $\mu =\nu$ 혹은 $\mu \neq \nu$일 때 각각 $\delta _{\mu \nu }=1$ 또는 $\delta _{\mu \nu }=0$이다.

우리는 $\gamma _{\mu \nu }$를 전기동역학에서의 지연 퍼텐셜과 비슷한 방식으로 계산할 수 있다는 것을 보일 것이다. 이로부터, 다음으로는 중력장이 광속으로 진행한다는 것이 도출된다. 그 일반해에 이어서 우리는 중력파와 그것이 어떻게 형성되는지 다룰 것이다. 내가 이것을 알아낸 것은 천문학자 드 지터(De sitter)로부터의 편지 덕으로, 그는 내가 이전에 제시한 것과는 다른 방식으로 좌표계를 선택함으로써 정지한 질점의 중력장에 대한 간단한 표현을 얻을 수 있다는 것을 발견했다. 따라서 나는 여기에서, 일반 불변인 장방정식을 기초로 삼을 것이다.

§1. 근사적 중력장 방정식의 적분법.

공변 형태의 장방정식은

$\left.{\begin{array}{l}\displaystyle R_{\mu \nu }+S_{\mu \nu }=-\varkappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)\\\\\displaystyle R_{\mu \nu }=-\sum _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left\{{\mu \nu \atop \alpha }\right\}+\sum _{\alpha \beta }\left\{{\mu \alpha \atop \beta }\right\}\left\{{\nu \beta \atop \alpha }\right\}\\\\\displaystyle S_{\mu \nu }={\frac {\partial ^{2}\log {\sqrt {g}}}{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}-\sum _{\alpha }\left\{{\mu \nu \atop \alpha }\right\}{\frac {\partial \log {\sqrt {g}}}{\partial x_{\alpha }}}\end{array}}\right\}$

$(1)$

로, 여기에서 중괄호는 잘 알려진 ($2$종) 크리스토펠 기호이고, $T_{\mu \nu }$는 물질의 공변 에너지 텐서, $T$는 연관된 스칼라이다. 방정식 $(1)$은 우리가 관심을 두는 근사 하에, 전개를 거쳐 즉각 방정식

$\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}\gamma _{\mu \alpha }}{\partial x_{\nu }\partial x_{\alpha }}}+\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}\gamma _{\nu \alpha }}{\partial x_{\mu }\partial x_{\alpha }}}-\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}\gamma _{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}\left(\sum _{\alpha }\gamma _{\alpha \alpha }\right)=-2\varkappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu \nu }\sum _{\alpha }T_{\alpha \alpha }\right)$

$(2)$

을 도출한다. 좌변의 마지막 항은 $S_{\mu \nu }$로부터 나오며,

$\gamma _{\mu \nu }=\gamma \,_{\mu \nu }'+\psi \delta _{\mu \nu }$

$(3)$

를 통해 풀 수 있다. 이 때, $\gamma \,_{\mu \nu }'$는 추가적인 조건

$\sum _{\nu }{\frac {\partial \gamma \,_{\mu \nu }'}{\partial x_{\nu }}}=0$

$(4)$

을 따른다. $(3)$을 $(2)$에 대신 삽입하면 좌변에는

$-\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}\gamma \,_{\mu \nu }'}{\partial x_{\alpha }^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}\left(\sum _{\alpha }\gamma \,_{\alpha \alpha }'\right)+2{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}-\delta _{\mu \nu }\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{\alpha }^{2}}}-4{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}$

를 얻는다. 만약 $\psi$가 앞으로 선택될 방정식

$\sum _{\alpha }\gamma \,_{\alpha \alpha }'+2\psi =0$

$(5)$

으로부터 주어질 경우 두번째, 세번째, 다섯째 항의 기여는 사라진다. 이를 고려하면, $(2)$ 대신

$\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }^{2}}}\left(\gamma \,_{\mu \nu }'-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu \nu }\sum _{\alpha }\gamma \,_{\alpha \alpha }'\right)=2\varkappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu \nu }\sum _{\alpha }T_{\alpha \alpha }\right)$

또는

$\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }^{2}}}\gamma \,_{\mu \nu }'=2\varkappa \,T_{\mu \nu }$

$(6)$

를 얻는다. 방정식 $(6)$이 방정식 $(4)$와 잘 맞는다는 것을 주목해야 하는데, 우리가 얻고 싶은 정확도 아래에서 물질에 관한 에너지-운동량 정리는 방정식

$\sum _{\nu }{\frac {\partial T_{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}=0$

$(7)$

로 표현된다. 만약 $(6)$에 연산 $\sum _{\nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}$를 적용하면, 좌변은 $(4)$에 의해 사라질 뿐만 아니라, $(6)$의 우변에서 $(7)$에 의해서도 사라져야 한다. $(3)$과 $(5)$에 의해 방정식

$\gamma _{\mu \nu }=\gamma \,_{\mu \nu }'-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu \nu }\sum _{\alpha }\gamma \,_{\alpha \alpha }'$

$(8)$

$\gamma \,_{\mu \nu }'=\gamma _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu \nu }\sum _{\alpha }\gamma _{\alpha \alpha }$

$(8a)$

이 성립한다는 것을 주목한다. 우리의 문제는 풀린 것이다. $\gamma \,_{\mu \nu }'$는 지연 퍼텐셜의 방식으로 계산될 수 있기 때문이다. 이는

$\gamma \,_{\mu \nu }'=-{\frac {\varkappa }{2\pi }}\int {\frac {T_{\mu \nu }(x_{0},y_{0},z_{0},t-r)}{r}}dV_{0}$

$(9)$

이다. 여기에서 $x,y,z,t$는 실숫값 좌표 $x,y,z,{\frac {t}{i}}$를 나타내며, 특히 첨수가 없는 것은 기준점의 좌표를, "$0$"이 붙은 것은 적분 요소를 나타낸다. $V_{0}$은 적분하는 공간의 $3$차원 부피소이고, $r$은 공간 거리 ${\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}$이다.

이어서, 우리는 중력장의 에너지 성분 또한 필요로 한다. 가장 간단한 방법은 방정식 $(6)$으로부터 바로 얻는 것이다. ${\frac {\partial \gamma \,_{\mu \nu }'}{\partial x_{\sigma }}}$를 곱한 다음 $\mu$와 $\nu$에 대하여 더하면, 좌변에서는 통상적인 재배열을 거쳐

$\sum _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left[\sum _{\mu \nu }{\frac {\partial \gamma \,_{\mu \nu }'}{\partial x_{\sigma }}}{\frac {\partial \gamma \,_{\mu \nu }'}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {1}{2}}\delta _{\sigma \alpha }\sum _{\mu \nu \beta }\left({\frac {\partial \gamma \,_{\mu \nu }'}{\partial x_{\beta }}}\right)^{2}\right]$

을 얻는다. 대괄호 안의 양은 명백히 에너지 성분 $t_{\sigma \alpha }$를 비례 상수를 감안하여 나타낸다. 아무런 항도 무시하지 않았을 때 물질의 에너지-운동량 정리는

$\sum _{\sigma }{\frac {\partial {\sqrt {-g}}\,T_{\mu }^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\varrho \sigma }{\frac {\partial g^{\varrho \sigma }}{\partial x_{\mu }}}{\sqrt {-g}}\,T_{\varrho \sigma }=0$

이다. 원하는 차수로 근사하면 이는

$\sum _{\sigma }{\frac {\partial T_{\mu \sigma }}{\partial x_{\sigma }}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\varrho \sigma }{\frac {\partial g_{\varrho \sigma }}{\partial x_{\mu }}}T_{\varrho \sigma }=0$

$(7a)$

로 교체할 수 있다. 이 형식은 $1$차 범위로 방정식 $(7)$보다 더 정확하다. 여기에서 고려하는 수정 하에 $(6)$의 우변은

$-4\varkappa \sum _{\nu }{\frac {\partial T_{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}$

가 된다. 보존 정리는, 따라서

$\sum _{\nu }{\frac {\partial (T_{\mu \nu }+t_{\mu \nu })}{\partial x_{\nu }}}=0$

$(10)$

로 나타난다. 여기에서

$t_{\mu \nu }={\frac {1}{4\varkappa }}\left[\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial \gamma \,_{\alpha \beta }'}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial \gamma \,_{\alpha \beta }'}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu \nu }\sum _{\alpha \beta \tau }\left({\frac {\partial \gamma \,_{\alpha \beta }'}{\partial x_{\tau }}}\right)^{2}\right]$

$(11)$

는 중력장의 에너지 성분이다.

가장 간단한 적용 예로, 좌표계의 원점에 정지해 있는 질량 $M$의 질점에 대한 중력장을 계산해보자. 표면력을 무시했을 때, 물질의 에너지 텐서는, 일차 근사로 공변 에너지 텐서를 반변 텐서로 교체할 수 있다는 것을 고려했을 때

$T_{\mu \nu }=\varrho {\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}$

$(12)$

이다. 스칼라 $\varrho$는 (자연 단위의) 질량 밀도이다. $(9)$와 $(12)$로부터 $\gamma \,_{44}'$를 제외한 모든 $\gamma \,_{\mu \nu }'$는 사라지며,

$\gamma \,_{44}'={\frac {\varkappa }{2\pi }}{\frac {M}{r}}$

$(13)$

이다. $(8)$과 $(1)$의 도움으로 $g_{\mu \nu }$에 대하여 다음 값을 얻는다.

$\left.{\begin{array}{cccc}\displaystyle -1-{\frac {\varkappa }{4\pi }}{\frac {M}{r}}&0&0&0\\\\0&\displaystyle -1-{\frac {\varkappa }{4\pi }}{\frac {M}{r}}&0&0\\\\0&0&\displaystyle -1-{\frac {\varkappa }{4\pi }}{\frac {M}{r}}&0\\\\0&0&0&\displaystyle -1+{\frac {\varkappa }{4\pi }}{\frac {M}{r}}\end{array}}\right\}$

$(14)$

드 지터 씨가 편지로 내게 이 값을 보내주었다. 이것은 내가 기존에 제시했던 값과, 오로지 좌표계의 선택에 의해서만 다르다. 이로부터 나는 위에 제시된 간단한 근사적 해를 얻어냈다. 그러나, 여기에서 만들어진 좌표계 선택은 일반적인 상황에서 그와 동등한 것이 없다는 것을 주의해야 한다. 이는 $\gamma _{\mu \nu }$와 $\gamma \,_{\mu \nu }'$가 오로지 선형 직교 변환에 대해서만 텐서의 성질을 갖고 일반적인 변환에 대해서는 그렇지 아니한 것과 같다.

§2. 평면 중력파.

방정식 $(6)$과 $(9)$로부터 중력장은 언제나 속도 $1$로, 즉 광속으로 진행한다. 양의 $x$축 방향으로 진행하는 평면 중력파는 따라서

$\gamma \,_{\mu \nu }'=\alpha _{\mu \nu }f(x_{1}+ix_{4})=\alpha _{\mu \nu }f(x-t)$

$(15)$

라 둠으로써 찾아낼 수 있다.

여기에서 $\alpha _{\mu \nu }$는 상수이다. $f$는 독립 변수 $x-t$의 함수이다. 고려하는 공간에 물질이 없다면, 즉 $T_{\mu \nu }$가 사라진다면 방정식 $(6)$은 $(15)$에 의해 만족된다. 방정식 $(4)$는 $\alpha _{\mu \nu }$ 사이에 다음과 같은 관계를 도출한다.

$\left.{\begin{array}{c}\alpha _{11}+i\alpha _{14}=0\\\alpha _{12}+i\alpha _{24}=0\\\alpha _{13}+i\alpha _{34}=0\\\alpha _{14}+i\alpha _{44}=0\end{array}}\right\}$

$(16)$

결과적으로 $10$개 중 $6$개의 상수 $\alpha _{\mu \nu }$만이 자유롭게 선택될 수 있다. 이러한 고려사항을 바탕으로 가장 일반적인 유형의 파동을 다음 $6$ 종류로 제시할 수 있다.

$\left.{\begin{array}{rc}{\text{a}})&\alpha _{11}+i\alpha _{14}=0\\&\alpha _{14}+i\alpha _{44}=0\\{\text{b}})&\alpha _{12}+i\alpha _{24}=0\\{\text{c}})&\alpha _{13}+i\alpha _{34}=0\\{\text{d}})&\alpha _{22}\neq 0\\{\text{e}})&\alpha _{23}\neq 0\\{\text{f}})&\alpha _{33}\neq 0\end{array}}\right\}$

$(17)$

이 정보는, 각 유형의 조건에서 표면적으로 언급되지 않은 $\alpha _{\mu \nu }$는 사라지는 것으로 해석해야 한다. 예를 들어, 유형 ${\text{a}})$에 대하여 오직 $\alpha _{11},\alpha _{14},\alpha _{44}$만이 $0$과 다르다. 유형 ${\text{a}})$는 종파의 대칭적 성질을 갖는다. ${\text{b}})$와 ${\text{c}})$ 유형은 횡파이고, 반면 ${\text{d), e), f)}}$ 유형은 새로운 종류의 대칭성에 대응된다. 유형 ${\text{b}})$와 ${\text{c}})$는 서로 $y$축 방향이냐, $z$축 방향이냐의 차이만을 갖는다. ${\text{d), e), f)}}$ 유형에도 같은 것이 적용되며, 따라서 본질적으로는 세 개의 파동 유형만이 있는 것이다.

우리는 주로 이들 파동의 에너지 전달에 관심을 갖는데, 이는 에너지 흐름 ${\mathfrak {f}}_{x}={\frac {1}{i}}t_{41}$로 측정된다. $(11)$로부터, 각각의 유형에 대하여 다음을 얻게 된다.

${\begin{array}{c}{\text{a}})\\\\{\text{b}})\\\\{\text{c}})\\\\{\text{d}})\\\\{\text{e}})\\\\{\text{f}})\end{array}}$${\begin{aligned}\displaystyle {\frac {1}{i}}t_{41}&={\frac {f'^{2}}{4\varkappa }}(\alpha _{11}^{2}+\alpha _{14}^{2}+\alpha _{44}^{2})=0\\\displaystyle {\frac {1}{i}}t_{41}&={\frac {f'^{2}}{2\varkappa }}(\alpha _{12}^{2}+\alpha _{24}^{2})=0\\\displaystyle {\frac {1}{i}}t_{41}&={\frac {f'^{2}}{2\varkappa }}(\alpha _{13}^{2}+\alpha _{34}^{2})=0\\\displaystyle {\frac {1}{i}}t_{41}&={\frac {f'^{2}}{4\varkappa }}\alpha _{22}^{2}={\frac {1}{4\varkappa }}\left({\frac {\partial \gamma \,_{22}'}{\partial t}}\right)^{2}\\\displaystyle {\frac {1}{i}}t_{41}&={\frac {f'^{2}}{4\varkappa }}\alpha _{23}^{2}={\frac {1}{4\varkappa }}\left({\frac {\partial \gamma \,_{23}'}{\partial t}}\right)^{2}\\\displaystyle {\frac {1}{i}}t_{41}&={\frac {f'^{2}}{4\varkappa }}\alpha _{33}^{2}={\frac {1}{4\varkappa }}\left({\frac {\partial \gamma \,_{33}'}{\partial t}}\right)^{2}\end{aligned}}$

따라서, 마지막으로 이름이 붙은 유형만이 에너지를 전달한다. 그리고 임의의 평면파에서 에너지의 전달은 다음과 같이 주어진다.

${\mathfrak {f}}_{x}={\frac {1}{i}}t_{41}={\frac {1}{4\varkappa }}\left[\left({\frac {\partial \gamma \,_{22}'}{\partial t}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial \gamma \,_{23}'}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \gamma \,_{33}'}{\partial t}}\right)^{2}\right]$

$(18)$

§3. 중력파의 방출에 의한 물질계의 에너지 손실.

우리가 조사하고자 하는 복사가 좌표계의 원점 근방에 지속되는 계를 고려하자. 우리는 계에 의해 발생하는 중력장을, 원점으로부터의 거리 $R$이 계의 규모에 비해 큰 기준점에서만 고려한다. 기준점이 양의 $x$축 위에 있다고 하자. 즉,

$x_{1}=R,\,\,x_{2}=x_{3}=0$

이라 둔다.

이 때, 기준점 위에 에너지를 전달하는 파동 복사가 존재하는지, 그리고 그것이 양의 $x$축 방향을 향하는지를 알고 싶다. §2에서의 고려사항은, 기준점에서의 그러한 복사에는 오로지 $g'_{22},g'_{23},g'_{33}$ 성분만이 기여한다는 것을 보여준다. 우리는 이들 성분만 계산하면 된다. $(9)$로부터

$\gamma '_{22}=-{\frac {\varkappa }{2\pi }}\int {\frac {T_{22}(x_{0},y_{0},z_{0},t-r)}{r}}dV_{0}$

을 얻는다.

만약 계가 크게 퍼져있지 않고 그 에너지 성분이 빠르게 변하지 않는다면, 뚜렷한 오차 없이 독립변수 $t-r$를 $t-R$로 교체할 수 있는데, 후자는 적분하는 동안 상수이다. 더 나아가 만약 ${\frac {1}{r}}$을 ${\frac {1}{R}}$로 바꿀 경우, 대부분의 경우에 충분한 다음 근사 방정식을 얻는다.

$\gamma '_{22}=-{\frac {\varkappa }{2\pi R}}\int T_{22}dV_{0}$

$(19)$

여기에서 적분은 통상적인 방법, 즉, 일정한 시간 변수에 대하여 이루어진다. $(7)$을 이용하여 이 표현은 물질계에서의 계산에 더 편리한 것으로 바꿀 수 있다.

${\frac {\partial T_{21}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial T_{22}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial T_{23}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial T_{24}}{\partial x_{4}}}=0$

으로부터, $x_{2}$를 곱한 다음 전체 계에 대하여 적분하고 두번째 항은 부분적분을 취하면

$-\int T_{22}dV+{\frac {\partial }{\partial x_{4}}}\left(\int T_{24}x_{2}dV\right)=0$

$(20)$

을 얻는다. 더 나아가,

${\frac {\partial T_{41}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial T_{42}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial T_{43}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial T_{44}}{\partial x_{4}}}=0$

으로부터, ${\frac {x_{2}^{2}}{2}}$을 곱한 다음 동일한 방식을 취하여

$-\int T_{24}x_{2}dV+{\frac {\partial }{\partial x_{4}}}\left(\int T_{44}{\frac {x_{2}^{2}}{2}}dV\right)=0$

$(21)$

을 얻는다. $(20)$과 $(21)$로부터

$\int T_{22}dV={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{4}^{2}}}\left(\int T_{44}{\frac {x_{2}^{2}}{2}}dV\right)$

또는, 실숫값 좌표를 도입한 뒤 근사적으로 에너지 밀도 $(-T_{44})$와 임의로 움직이는 물체의 질량 밀도 $\varrho$를 일치시키면 다음과 같다.

$\int T_{22}dV={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(\int \varrho y^{2}dV\right)$

$(22)$

또한,

$\gamma '_{22}=-{\frac {\varkappa }{4\pi R}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(\int \varrho y^{2}dV\right)$

$(23)$

를 얻는다. 같은 방법으로 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\gamma '_{33}=-{\frac {\varkappa }{4\pi R}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(\int \varrho z^{2}dV\right)$

$(23a)$

$\gamma '_{23}=-{\frac {\varkappa }{4\pi R}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(\int \varrho yzdV\right)$

$(23b)$

$(23),(23a),(23b)$에서의 적분은 시간에 따라 변하는 관성 모멘트에 지나지 않으며, $J_{22},J_{33},J_{23}$으로 줄여 쓸 수 있다. 이 때 $(18)$에서의 에너지 복사의 강도 ${\mathfrak {f}}_{x}$는

${\mathfrak {f}}_{x}={\frac {\varkappa }{64\pi ^{2}R^{2}}}\left[\left({\frac {\partial ^{3}J_{22}}{\partial t^{3}}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial ^{3}J_{23}}{\partial t^{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial ^{3}J_{33}}{\partial t^{3}}}\right)^{2}\right]$

$(20)$

이다. 이로부터, 더 나아가 모든 방향으로의 에너지 복사의 평균값은

${\frac {\varkappa }{64\pi ^{2}R^{2}}}\cdot {\frac {2}{3}}\sum _{\alpha \beta }\left({\frac {\partial ^{3}J_{\alpha \beta }}{\partial t^{3}}}\right)^{2}$

으로 주어지게 된다. 여기에서 첨수 $1$부터 $3$까지의 합은 총 $9$개의 조합인데, 그 이유는 이 표현식이 한편으로는 좌표계의 공간 상 회전에 대하여 불변이고($J_{\alpha \beta }$의 $3$차원적 텐서 성질로부터 쉽게 알 수 있다), 다른 한편으로는 방사상 대칭인 경우($J_{11}=J_{22}=J_{33};\,\,J_{23}=J_{31}=J_{12}=0$)에 $(20)$과 일치하기 때문이다. 결과적으로, $4\pi R^{2}$을 곱하여 계의 단위 시간 당 복사량 $A$를 얻게 된다.

$A={\frac {\varkappa }{24\pi }}\sum _{\alpha \beta }\left({\frac {\partial ^{3}J_{\alpha \beta }}{\partial t^{3}}}\right)^{2}$

$(21)$

이 표현은 만약 우리가 시간을 초로, 에너지를 ${\text{Erg}}$로 측정할 경우 추가적인 인수 ${\frac {1}{c^{4}}}$이 곱해진다. 또한 $\varkappa =1.87\cdot 10^{-27}$임을 고려하면, $A$가 상상할 수 있는 모든 경우에 대하여 사실상 사라지는 값이라는 것은 명백하다.

그럼에도, 전자의 원자 내부 운동에 의해 원자는 전자기 뿐만 아니라 중력 에너지 또한 아주 작은 양이라도 방출하게 된다. 자연에서는 이것이 가능하지 않으므로, 양자론은 맥스웰의 전기동역학 뿐만아니라, 중력의 새로운 이론 또한 수정해야 할 것으로 보인다.

보충. 아무 에너지도 전달하지 않는 중력파(${\text{a, b, c}}$ 유형)이 존재한다는 기묘한 결과를 설명하는 간단한 방법이 있다. 원인은 이들이 "실제" 파동이 아닌 "겉보기" 파동이라는 것으로, 원점이 파동처럼 진동하는 좌표계를 사용함으로써 발생한 것이다. 이것은 다음과 같은 방식으로 쉽게 확인할 수 있다. 만약 좌표계를 선택할 때 평소와 같이 ${\sqrt {g}}=1$이라 둔다면, 물질이 없는 장방정식으로 $(2)$ 대신

$\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}\gamma _{\mu \alpha }}{\partial x_{\nu }\partial x_{\alpha }}}+\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}\gamma _{\nu \alpha }}{\partial x_{\mu }\partial x_{\alpha }}}-\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}\gamma _{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }^{2}}}=0$

을 얻는다. 이 방정식에

$\gamma _{\mu \nu }=\alpha _{\mu \nu }f(x_{1}+ix_{4})$

를 대입하면 상수 $\alpha _{\mu \nu }$ 사이의 $10$개의 방정식을 얻으며, 이 중에서 $\alpha _{22},\alpha _{33},\alpha _{23}$만이 $0$과 다를 수 있음을 확인할 수 있다($\alpha _{22}+\alpha _{33}=0$). 이러한 좌표계 선택에 의해 오로지 (에너지를 전달하는) ${\text{(d, e, f)}}$ 유형의 파동만이 존재하게 된다. 나머지 유형의 파동은 이러한 좌표 선택으로 제거된다. 이러한 관점에서 이들은 "실제" 파동이 아니다.

이번 연구로부터 $1$차 근사를 계산하는 데 있어서 좌표계 선택을 제한하지 않는 것이 유리하다는 것이 밝혀졌지만, 그럼에도 우리의 마지막 결과는 ${\sqrt {-g}}=1$이라 제한하는 좌표계 선택이 심도 높은 물리적 정당성을 지님을 보여준다.