맥스웰의 전기동역학 방정식의 새로운 형식적 해석
Eine neue formale Deutung der MAXWELLschen Feldgleichungen der Elektrodynamik
전기동역학 방정식에 관한 현재의 공변 이론적 해석은 민코프스키[Minkovski]로부터 기원한 것이다. 이것은 다음과 같이 묘사할 수 있다. 전기동역학적 장의 성분은
-벡터를 이룬다(랭크
의 반대칭 텐서). 첫번째 것과 연관된 두번째
-벡터가 있어서(또한 그것의 듀얼이다) 원래의 상대성 이론이라는 특수한 경우에는 첫번째 것과 같은 성분을 갖지만, 성분들이
개의 좌표축과 연관된 방식에 있어서 서로 구분된다. 맥스웰 방정식의 두 체계는 첫번째 것의 발산을
이라 두고, 두번째 것의 발산을 전류
-벡터와 같게 둠으로써 얻게 된다.
듀얼
-벡터의 도입은 그것의 공변 이론적 표현을 상대적으로 복잡하고 혼란스럽게 만든다. 특히 운동량과 에너지의 보존 정리를 유도하는 데 있어서 복잡하며, 일반 상대성 이론의 경우엔 더욱 그러하다. 이는 중력장의 전자기장에 대한 영향 또한 고려하기 때문이다. 다음의 형식화는 듀얼
-벡터의 개념을 피하고 따라서 체계를 상당 수준 간료화한다. 곧이어, 우리는 즉시 일반 상대성 이론의 경우에 대해 다룰 것이다.[1]
를 전자기 퍼텐셜의 공변
-벡터의 성분이라 하자. 이로부터 전자기장의 공변
-벡터의 성분
을 다음 방정식계에 따라 만든다.
로부터
는 실제로 공변 텐서이다.
로부터 방정식계
이 성립하며, 이는 맥스웰 방정식의 두번째 계(패러데이의 유도 법칙)를 가장 자연스러운 형태로 표현하기도 한다. 먼저,
가 일반 공변적인 방정식임을 알 수 있는데 이는 일반 공변계
의 결과로서 등장했기 때문이다. 또한,
의 좌변이 랭크
의 공변 텐서라는 것은
를
에 각각 세차례 적용하고 첨수
에 대하여 확장을 취한 다음 결과적인 세 표현식을 더하면, (물론
의 반대칭 성질을 적용하여) 증명할 수 있다. 이 랭크
-텐서는 반대칭인데,
의 반대칭 성질이
의 좌변이 두 첨수가 뒤바뀔 때마다 값은 그대로인 채 부호만 바뀌게 만들기 때문이다.
는 따라서, 다음 네 개의 방정식으로 완전히 대체될 수 있다.
이들은 첨수
가 연속적으로
, 각
, 각
, 각
의 값으로 주어 얻게 된다.
일반적으로 익숙한, 중력장이 없는 특수한 경우에
이라 두어야 한다. 그러면 방정식
는 장방정식
을 도출한다. 이들 방정식은 만약 정의하는 방정식
을 계속 사용할 경우, 즉
-벡터
를 공변
벡터로 다룰 경우 일반 상대성 이론에서도 유지된다.
맥스웰 방정식의 첫번째 계를 고려하면, 우리는 민코프스키의
반변
-
-벡터
를 도입하고, 이 반변
-벡터의 발산이 진공에서의 전류 밀도를 나타내는 반변
-
-벡터와 같다고 놓자. 즉,
이다. 이 방정식계는 실제로 맥스웰의 첫번째 계와 동치이다. 이는
를
가
의 값을 가지는 특수 상대론의 경우에 대하여
로부터 계산하여 알 수 있다.
과
는 이 특수한 경우에 대하여
를 도출한다. 추가적으로
라 둠으로써
는 다음 익숙한 형태를 얻게 된다.
형태의 방정식은 일반 상대성 이론에도 적용되지만, (
차원) 벡터
와
는 더이상
에서와 같지 않다. 대신 새로운 두 벡터
와
를 도입해야 하는데, 이들은 방정식
에서 정해주듯
및
와 꽤 복잡한 관계를 갖는다.
정리하여, 맥스웰계의 새로운 일반화는 방정식
에 의해 완전히 주어진다는 것을 주목하자. 이는 기존의 것과 형태 상으로만 차이나고, 내용은 다르지 않다.
§2. 폰더모티브 힘과 에너지-운동량 이론[2]
[편집]
전자기장의 공변
-벡터
와 전류밀도의
-
-벡터
를 내적하면 공변
-
-벡터
를 얻는다. 그 성분은,
에 따르면 관례적인
차원 표기로
이다. 따라서 전자기장에 대하여
는 정확히 방정식
에서 등장하는
-벡터가 힘밀도의
-벡터로서 도입된 것이다.
과
는 각각 장에 전달되는 단위 부피 및 시간 당 운동량의 음의 성분, 그리고 에너지이다.
전자기장의 에너지 텐서의 성분
를 얻기 위해서는 단지 (방정식
과 장방정식으로부터) 방정식
와 동등한 형태를 만들면 된다. 먼저
과
로부터
를 얻는다. 우변의 두번째 항은
를 이용해 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
또한 대칭성에 의해, 마지막 표현식은 다음처럼도 쓸 수 있다.
그런데, 이것은 이제 다음과 같이 쓸 수 있다.
이 항들 중 첫번째는, 줄여서 쓰면
이고, 두번째 것은 미분과 일부 재배열을 거친 후에
가 된다. 마침내, 이렇게 계산된 네 항들을 모두 취합하면 다음 관계를 얻는다.
여기에서
이다.
는
또는
일 때 각각
또는
인 혼합 텐서이다. 방정식
를
와 비교하면
가 전자기장의 에너지-운동량 방정식이고, 이 때 에너지 텐서의 성분이
로 주어짐을 알 수 있다.
과
의 도움으로 여기에서 찾은 전자기장의 에너지 텐서가 기존 이론의 것과 일치한다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 하지만, 새롭게 찾은 형태는 이 주제에 관한 기존 접근 방식으로 찾아낸 것에 비해 보다 포괄적이다.
- ↑ 내 논문 "Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie" (these Sitzungsberichte 41 [1914], p. 1030)는 여기에서 알려진 것으로 간주한다. 앞으로 등장하는 "
"는 언제나 이 논문을 지칭한다.
- ↑ 이는 동일 주제를 다른 방식으로 접근한 H.A.Lorentz(Koninkl. Akad. van Wetensch. 23 [1915], p.1085)의 덕분이다.