맥스웰의 전기동역학 방정식의 새로운 형식적 해석

맥스웰의 전기동역학 방정식의 새로운 형식적 해석

Eine neue formale Deutung der MAXWELLschen Feldgleichungen der Elektrodynamik

알베르트 아인슈타인
A.Einstein

전기동역학 방정식에 관한 현재의 공변 이론적 해석은 민코프스키[Minkovski]로부터 기원한 것이다. 이것은 다음과 같이 묘사할 수 있다. 전기동역학적 장의 성분은 $6$-벡터를 이룬다(랭크 $2$의 반대칭 텐서). 첫번째 것과 연관된 두번째 $6$-벡터가 있어서(또한 그것의 듀얼이다) 원래의 상대성 이론이라는 특수한 경우에는 첫번째 것과 같은 성분을 갖지만, 성분들이 $4$개의 좌표축과 연관된 방식에 있어서 서로 구분된다. 맥스웰 방정식의 두 체계는 첫번째 것의 발산을 $0$이라 두고, 두번째 것의 발산을 전류 $4$-벡터와 같게 둠으로써 얻게 된다.

듀얼 $6$-벡터의 도입은 그것의 공변 이론적 표현을 상대적으로 복잡하고 혼란스럽게 만든다. 특히 운동량과 에너지의 보존 정리를 유도하는 데 있어서 복잡하며, 일반 상대성 이론의 경우엔 더욱 그러하다. 이는 중력장의 전자기장에 대한 영향 또한 고려하기 때문이다. 다음의 형식화는 듀얼 $6$-벡터의 개념을 피하고 따라서 체계를 상당 수준 간료화한다. 곧이어, 우리는 즉시 일반 상대성 이론의 경우에 대해 다룰 것이다.^[1]

§1. 장방정식

$\phi _{\nu }$를 전자기 퍼텐셜의 공변 $4$-벡터의 성분이라 하자. 이로부터 전자기장의 공변 $6$-벡터의 성분 $F_{\varrho \sigma }$을 다음 방정식계에 따라 만든다.

$F_{\varrho \sigma }={\frac {\partial \phi _{\varrho }}{\partial x_{\sigma }}}-{\frac {\partial \phi _{\sigma }}{\partial x_{\varrho }}}\quad ...(1)$

$(28a)\,{\text{l.c.}}$로부터 $F_{\varrho \sigma }$는 실제로 공변 텐서이다. $(1)$로부터 방정식계

${\frac {\partial F_{\varrho \sigma }}{\partial x_{\tau }}}+{\frac {\partial F_{\sigma \tau }}{\partial x_{\varrho }}}+{\frac {\partial F_{\tau \varrho }}{\partial x_{\sigma }}}=0\quad ...(2)$

이 성립하며, 이는 맥스웰 방정식의 두번째 계(패러데이의 유도 법칙)를 가장 자연스러운 형태로 표현하기도 한다. 먼저, $(2)$가 일반 공변적인 방정식임을 알 수 있는데 이는 일반 공변계 $(1)$의 결과로서 등장했기 때문이다. 또한, $(2)$의 좌변이 랭크 $3$의 공변 텐서라는 것은 $(29)\,{\text{l.c.}}$를 $F_{\varrho \sigma },\,F_{\sigma \tau },\,F_{\tau \varrho }$에 각각 세차례 적용하고 첨수 $\tau ,\varrho ,\sigma$에 대하여 확장을 취한 다음 결과적인 세 표현식을 더하면, (물론 $F_{\varrho \sigma }$의 반대칭 성질을 적용하여) 증명할 수 있다. 이 랭크 $3$-텐서는 반대칭인데, $F_{\varrho \sigma }$의 반대칭 성질이 $(2)$의 좌변이 두 첨수가 뒤바뀔 때마다 값은 그대로인 채 부호만 바뀌게 만들기 때문이다. $(2)$는 따라서, 다음 네 개의 방정식으로 완전히 대체될 수 있다.

$\left.{\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {\partial F_{23}}{\partial x_{4}}}+{\frac {\partial F_{34}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial F_{42}}{\partial x_{3}}}=0\\\\\displaystyle {\frac {\partial F_{34}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{41}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial F_{13}}{\partial x_{4}}}=0\\\\\displaystyle {\frac {\partial F_{41}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial F_{12}}{\partial x_{4}}}+{\frac {\partial F_{24}}{\partial x_{1}}}=0\\\\\displaystyle {\frac {\partial F_{12}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial F_{23}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{31}}{\partial x_{2}}}=0\end{array}}\right\}\quad ...(2a)$

이들은 첨수 $\tau ,\varrho ,\sigma$가 연속적으로 $2,3,4$, 각 $3\,4\,1$, 각 $4\,1\,2$, 각 $1\,2\,3$의 값으로 주어 얻게 된다.

일반적으로 익숙한, 중력장이 없는 특수한 경우에

$\left.{\begin{array}{c}\displaystyle F_{23}={\mathfrak {h}}_{x}\quad F_{14}={\mathfrak {e}}_{x}\\\\\displaystyle F_{31}={\mathfrak {h}}_{y}\quad F_{24}={\mathfrak {e}}_{y}\\\\\displaystyle F_{12}={\mathfrak {h}}_{z}\quad F_{34}={\mathfrak {e}}_{z}\end{array}}\right\}\quad ...(3)$

이라 두어야 한다. 그러면 방정식 $(2a)$는 장방정식

$\left.{\begin{aligned}\displaystyle {\frac {\partial {\mathfrak {\,h}}}{\partial t}}+{\text{rot}}\,{\mathfrak {e}}&=0\\\\\displaystyle {\text{div}}\,{\mathfrak {h}}&=0\end{aligned}}\right\}\quad ...(2b)$

을 도출한다. 이들 방정식은 만약 정의하는 방정식 $(3)$을 계속 사용할 경우, 즉 $6$-벡터 ${\mathfrak {(e,h)}}$를 공변 $6$벡터로 다룰 경우 일반 상대성 이론에서도 유지된다.

맥스웰 방정식의 첫번째 계를 고려하면, 우리는 민코프스키의 반변 $V$-$6$-벡터

${\mathfrak {F}}^{\mu \nu }={\sqrt {-g}}\sum _{\alpha \beta }g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }\quad ...(4)$

를 도입하고, 이 반변 $6$-벡터의 발산이 진공에서의 전류 밀도를 나타내는 반변 $V$-$6$-벡터와 같다고 놓자. 즉,

$\sum _{\nu }{\frac {\partial {\mathfrak {F}}^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}={\mathfrak {J}}^{\mu }\quad ...(5)$

이다. 이 방정식계는 실제로 맥스웰의 첫번째 계와 동치이다. 이는 ${\mathfrak {F}}^{\mu \nu }$를 $g_{\mu \nu }$가

${\begin{array}{rrrr}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&+1\end{array}}$

의 값을 가지는 특수 상대론의 경우에 대하여 $(4)$로부터 계산하여 알 수 있다. $(3)$과 $(4)$는 이 특수한 경우에 대하여

$\left.{\begin{array}{c}\displaystyle {\mathfrak {F}}^{23}={\mathfrak {h}}_{x}\quad {\mathfrak {F}}^{14}=-{\mathfrak {e}}_{x}\\\\\displaystyle {\mathfrak {F}}^{31}={\mathfrak {h}}_{y}\quad {\mathfrak {F}}^{24}=-{\mathfrak {e}}_{y}\\\\\displaystyle {\mathfrak {F}}^{12}={\mathfrak {h}}_{z}\quad {\mathfrak {F}}^{34}=-{\mathfrak {e}}_{z}\end{array}}\right\}\quad ...(6)$

를 도출한다. 추가적으로

${\mathfrak {J^{1}=i}}_{x},\quad {\mathfrak {J^{2}=i}}_{y},\quad {\mathfrak {J^{3}=i}}_{z},\quad {\mathfrak {J^{4}=\varrho }}\quad ...(7)$

라 둠으로써 $(5)$는 다음 익숙한 형태를 얻게 된다.

$\left.{\begin{aligned}\displaystyle {\text{rot}}\,{\mathfrak {h}}-{\frac {\partial {\mathfrak {e}}}{\partial t}}&={\mathfrak {i}}\\\\\displaystyle {\text{div}}\,{\mathfrak {e}}&=\varrho \end{aligned}}\right\}\quad ...(5b)$

$(5b)$ 형태의 방정식은 일반 상대성 이론에도 적용되지만, ($3$차원) 벡터 ${\mathfrak {e}}$와 ${\mathfrak {h}}$는 더이상 $(2b)$에서와 같지 않다. 대신 새로운 두 벡터 ${\mathfrak {e}}'$와 ${\mathfrak {h}}'$를 도입해야 하는데, 이들은 방정식 $(4)$에서 정해주듯 ${\mathfrak {e}}$ 및 ${\mathfrak {h}}$와 꽤 복잡한 관계를 갖는다.

정리하여, 맥스웰계의 새로운 일반화는 방정식 $(2),(4),(5)$에 의해 완전히 주어진다는 것을 주목하자. 이는 기존의 것과 형태 상으로만 차이나고, 내용은 다르지 않다.

§2. 폰더모티브 힘과 에너지-운동량 이론^[2]

전자기장의 공변 $6$-벡터 $F_{\sigma \mu }$와 전류밀도의 $V$-$4$-벡터 ${\mathfrak {J}}^{\mu }$를 내적하면 공변 $V$-$4$-벡터

${\mathfrak {R}}_{\sigma }=\sum _{\mu }F_{\sigma \mu }{\mathfrak {J}}^{\mu }\quad ...(8)$

를 얻는다. 그 성분은, $(3)$에 따르면 관례적인 $3$차원 표기로

${\begin{aligned}R_{1}&=\varrho {\mathfrak {e}}_{x}+{\mathfrak {[i,h]}}_{x}\\R_{2}&=\varrho {\mathfrak {e}}_{y}+{\mathfrak {[i,h]}}_{y}\\R_{3}&=\varrho {\mathfrak {e}}_{z}+{\mathfrak {[i,h]}}_{z}\\R_{4}&=-({\mathfrak {i,e}})\end{aligned}}$

이다. 따라서 전자기장에 대하여 ${\mathfrak {R}}_{\sigma }$는 정확히 방정식 $(42a)\,{\text{l.c.}}$에서 등장하는 $V$-벡터가 힘밀도의 $4$-벡터로서 도입된 것이다. ${\mathfrak {R}}_{1},{\mathfrak {R}}_{2},{\mathfrak {R}}_{3}$과 ${\mathfrak {R}}_{4}$는 각각 장에 전달되는 단위 부피 및 시간 당 운동량의 음의 성분, 그리고 에너지이다.

전자기장의 에너지 텐서의 성분 ${\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }$를 얻기 위해서는 단지 (방정식 $(7)$과 장방정식으로부터) 방정식 $(42a)\,{\text{l.c.}}$와 동등한 형태를 만들면 된다. 먼저 $(7)$과 $(5)$로부터

${\mathfrak {R}}_{\sigma }=\sum _{\mu \nu }F_{\sigma \mu }{\frac {\partial {\mathfrak {F}}^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}=\sum _{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\left(F_{\sigma \mu }{\mathfrak {F}}^{\mu \nu }\right)-\sum _{\mu \nu }{\mathfrak {F}}^{\mu \nu }{\frac {\partial F_{\sigma \mu }}{\partial x_{\nu }}}$

를 얻는다. 우변의 두번째 항은 $(2)$를 이용해 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$\sum _{\mu \nu }{\mathfrak {F}}^{\mu \nu }{\frac {\partial F_{\sigma \mu }}{\partial x_{\nu }}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{\mu \nu }{\mathfrak {F}}^{\mu \nu }{\frac {\partial F_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{\mu \nu \alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }{\frac {\partial F_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}$

또한 대칭성에 의해, 마지막 표현식은 다음처럼도 쓸 수 있다.

$-{\frac {1}{4}}\sum _{\mu \nu \alpha \beta }\left[{\sqrt {-g}}\,g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }{\frac {\partial F_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}+{\sqrt {-g}}\,g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\frac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x_{\sigma }}}F_{\mu \nu }\right]$

그런데, 이것은 이제 다음과 같이 쓸 수 있다.

$-{\frac {1}{4}}{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\left(\,\sum _{\mu \nu \alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }F_{\mu \nu }\right)+{\frac {1}{4}}\sum _{\mu \nu \alpha \beta }F_{\alpha \beta }F_{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\left({\sqrt {-g}}\,g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)$

이 항들 중 첫번째는, 줄여서 쓰면

$-{\frac {1}{4}}{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\left(\sum _{\mu \nu }{\mathfrak {F}}^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right)$

이고, 두번째 것은 미분과 일부 재배열을 거친 후에

$-{\frac {1}{2}}\sum _{\mu \nu \varrho \tau }{\mathfrak {F}}^{\mu \tau }F_{\mu \nu }g^{\nu \varrho }{\frac {\partial g_{\varrho \tau }}{\partial x_{\sigma }}}+{\frac {1}{8}}\sum _{\alpha \beta \varrho \tau }{\mathfrak {F}}^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }g^{\varrho \tau }{\frac {\partial g_{\varrho \tau }}{\partial x_{\sigma }}}$

가 된다. 마침내, 이렇게 계산된 네 항들을 모두 취합하면 다음 관계를 얻는다.

$\sum _{\nu }{\frac {\partial {\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {1}{2}}\sum _{\mu \nu \tau }g^{\tau \mu }{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}{\mathfrak {T}}_{\tau }^{\nu }={\mathfrak {R}}_{\sigma }\quad ...(8a)$

여기에서

${\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }=\sum _{\alpha \beta }\left(-{\mathfrak {F}}^{\nu \alpha }F_{\sigma \alpha }+{\frac {1}{4}}{\mathfrak {F}}^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\delta _{\sigma }^{\nu }\right)\quad ...(9)$

이다. $\delta _{\sigma }^{\nu }$는 $\sigma =\nu$ 또는 $\sigma \neq \nu$일 때 각각 $1$ 또는 $0$인 혼합 텐서이다. 방정식 $(8a)$를 $(42a)\,{\text{l.c.}}$와 비교하면 $(8a)$가 전자기장의 에너지-운동량 방정식이고, 이 때 에너지 텐서의 성분이 $(9)$로 주어짐을 알 수 있다. $(3)$과 $(6)$의 도움으로 여기에서 찾은 전자기장의 에너지 텐서가 기존 이론의 것과 일치한다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 하지만, 새롭게 찾은 형태는 이 주제에 관한 기존 접근 방식으로 찾아낸 것에 비해 보다 포괄적이다.

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1. 내 논문 "Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie" (these Sitzungsberichte 41 [1914], p. 1030)는 여기에서 알려진 것으로 간주한다. 앞으로 등장하는 "${\text{l.c.}}$"는 언제나 이 논문을 지칭한다.
2. 이는 동일 주제를 다른 방식으로 접근한 H.A.Lorentz(Koninkl. Akad. van Wetensch. 23 [1915], p.1085)의 덕분이다.