중력파에 대하여

중력파에 대하여

Über Gravitationswellen

알베르트 아인슈타인
A.Einstein

(1918년 1월 31일 제출 [S. 79 참고])

나는 1년 반 전 한 학술 논문에서 중력파가 어떻게 진행하는지에 관한 중요한 질문에 대하여 다룬 바 있다.^[1] 그러나, 내 기존 방식이 충분히 명료하지 않았고 또한, 계산 상의 유감스러운 오류로 인해 왜곡되어버린 관계로 불가피하게 이 주제로 다시 돌아온다.

이전과 같이, 나는 고려하는 시공간 연속체가 "갈릴레이" 시공간으로부터 매우 작은 정도만 벗어난다고 제한을 둘 것이다. 모든 첨수에 대하여

$g_{\mu \nu }=-\delta _{\mu \nu }+\gamma _{\mu \nu }$

$(1)$

와 같이 쓸 수 있도록, 특수 상대성 이론에서 보편화되어있듯이 시간 변수를 순허수로 선택한다. 즉,

$x_{4}=it$

라 둔다. 여기에서 $t$는 "빛 시간"을 나타낸다. $(1)$에서 $\mu =\nu$ 또는 $\mu \neq \nu$에 따라서 각각 $\delta _{\mu \nu }=1$ 또는 $\delta _{\mu \nu }=0$이다. $\gamma _{\mu \nu }$는 $1$과 비교해 작은 양이며, 중력장이 없는 연속체로부터의 편차를 나타낸다. 로런츠 변환 하에, 이들은 랭크 $2$의 텐서를 형성한다.

§1. 지연 퍼텐셜을 이용한 근사적 중력장 방정식의 해

임의의 좌표계에서 유효한 장방정식

$-\sum _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\left\{{\mu \nu \atop \alpha }\right\}+\sum _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\left\{{\mu \alpha \atop \alpha }\right\}+\sum _{\alpha \beta }\left\{{\mu \alpha \atop \beta }\right\}\left\{{\nu \beta \atop \alpha }\right\}-\sum _{\alpha \beta }\left\{{\mu \nu \atop \alpha }\right\}\left\{{\alpha \beta \atop \beta }\right\}=-\varkappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)$

$(2)$

으로부터 시작한다.^[2] $T_{\mu \nu }$는 물질의 에너지 텐서이고 $T$는 관련 스칼라 $\sum _{\alpha \beta }g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }$이다. 만약 $\gamma _{\mu \nu }$의 $n$차항을 모두 $n$차 범위의 작은 양으로 간주하고, 동시에 방정식 $(2)$의 양변에서 가장 낮은 차수의 항으로 계산을 한정할 경우 근사적 방정식

$\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial ^{2}\gamma _{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\gamma _{\alpha \alpha }}{\partial x_{\mu }\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial ^{2}\gamma _{\mu \alpha }}{\partial x_{\nu }\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial ^{2}\gamma _{\nu \alpha }}{\partial x_{\mu }\partial x_{\alpha }}}\right)=2\varkappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu \nu }\sum _{\alpha }T_{\alpha \alpha }\right)$

$(2a)$

을 얻는다. 이 방정식에 $-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu \nu }$를 곱하고 $\mu ,\nu$에 대하여 더하면, 다음으로 (첨수를 바꿔서) 스칼라 방정식

$\sum _{\alpha \beta }\left(-{\frac {\partial ^{2}\gamma _{\alpha \alpha }}{\partial x_{\beta }^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\gamma _{\alpha \beta }}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}\right)=\varkappa \sum _{\alpha }T_{\alpha \alpha }$

을 얻는다. 만약 이 방정식에 $\delta _{\mu \nu }$를 곱하고 방정식 $(2a)$에 더하면, $(2a)$의 우변에서 두번째 항은 상쇄된다. 좌변의 경우 $\gamma _{\mu \nu }$ 대신 함수

$\gamma \,_{\mu \nu }'=\gamma _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu \nu }\sum _{\alpha }\gamma _{\alpha \alpha }$

$(3)$

를 도입하면 더욱 완전하게 적을 수 있다. 그러면 방정식은 다음 형태를 갖는다:

$\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}\gamma \,_{\mu \nu }'}{\partial x_{\alpha }^{2}}}-\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}\gamma \,_{\mu \alpha }'}{\partial x_{\nu }\partial x_{\alpha }}}-\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}\gamma \,_{\nu \alpha }'}{\partial x_{\mu }\partial x_{\alpha }}}+\delta _{\mu \nu }\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}\gamma \,_{\alpha \beta }'}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}=2\varkappa \,T_{\mu \nu }$

$(4)$

그런데, 이 방정식은 $\gamma \,_{\mu \nu }'$가 방정식 $(4)$ 뿐만 아니라 관계

$\sum _{\alpha }{\frac {\partial \gamma \,_{\mu \alpha }'}{\partial x_{\alpha }}}=0$

$(5)$

까지 만족시킨다고 요구한다면 상당 수준 간단하게 만들 수 있다.

얼핏 보기에는 $10$개의 함수 $\gamma \,_{\mu \nu }'$에 대한 $10$개의 방정식 $(4)$가 추가적인 $4$개의 임의적 조건을 과조건 없이 허용한다는 것에 의문을 품을 수 있다. 그러나 이 과정의 정당화는 다음으로부터 찾을 수 있다. 방정식 $(2)$는 임의의 변환에 대하여 공변적이다. 즉, 임의로 선택된 좌표계에서 만족된다. 새로운 좌표계를 도입하면, 새로운 계에서의 $g_{\mu \nu }$는 좌표의 변환을 정의하는 $4$개의 임의적인 함수에 의존한다. 이 $4$개의 방정식은 이제 $g_{\mu \nu }$가 새로운 계에서 $4$개의 임의적으로 주어진 관계를 만족시키도록 선택될 수 있다. 우리가 원하는 근사 하에 이것이 방정식 $(5)$로 변환된다고 보자. 후자의 방정식은, 따라서, 좌표계를 선택해야 하는 근거를 제공하는 조건을 나타낸다. $(5)$로부터, $(4)$ 대신 간단한 방정식

$\sum _{\alpha }{\frac {\partial ^{2}\gamma \,_{\mu \nu }'}{\partial x_{\alpha }^{2}}}=2\varkappa \,T_{\mu \nu }$

$(6)$

을 얻는다.

$(6)$에 의해, 중력장은 광속으로 진행한다. $T_{\mu \nu }$가 주어지면, $\gamma _{\mu \nu }$는 그로부터 지연 퍼텐셜의 방식으로 계산할 수 있다. 만약 $x,y,z,t$가 고려하는 점, 즉 $\gamma \,_{\mu \nu }'$가 계산되는 점의 실숫값 좌표 $x_{1},x_{2},x_{3},{\frac {x_{4}}{i}}$를 나타내고, $x_{0},y_{0},z_{0}$이 부피소 $dV_{0}$의 공간 좌표를, $r$이 고려하는 점과 후자 간의 공간 상 거리를 나타낸다면

$\gamma \,_{\mu \nu }'=-{\frac {\varkappa }{2\pi }}\int {\frac {T_{\mu \nu }(x_{0},y_{0},z_{0},t-r)}{r}}dV_{0}$

$(7)$

을 얻는다.

§2. 중력장의 에너지 성분

얼마 전^[3] 나는 조건

$g=|g_{\mu \nu }|=1$

을 만족시키는 좌표계를 선택한 경우에 대한 중력장의 에너지 성분을 직접적으로 제시하였다. 이 조건은 여기에서 고려하는 근사에 대하여

$\gamma =\sum _{\alpha }\gamma _{\alpha \alpha }=0$

과 동치이다. 그러나, 이것은 일반적으로 현재 우리의 좌표계 선택에서는 만족되지 않는다. 따라서, 에너지 성분을 얻는 가장 간단한 방법은 다음의 분리된 고려사항을 따른다.

그러나, 우리는 다음의 어려움들을 고려해야 한다. 우리의 장방정식 $(6)$은 오로지 $1$차항까지만 성립하는 반면, 에너지 방정식은 (쉽게 알 수 있듯) $2$차항 범위이다. 하지만 우리는 다음 고려로 쉽게 목표에 도달할 수 있다. 물질의 에너지 성분 ${\mathfrak {T}}_{\mu }^{\sigma }$과 중력장의 에너지 성분 ${\mathfrak {t}}_{\mu }^{\sigma }$는 일반 이론에 따라, 다음 관계를 만족시킨다.

$\sum _{\sigma }{\frac {\partial {\mathfrak {T}}_{\mu }^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho \sigma }{\frac {\partial g^{\rho \sigma }}{\partial x_{\mu }}}{\mathfrak {T}}_{\rho \sigma }=0,$

$\sum _{\sigma }{\frac {\partial ({\mathfrak {T}}_{\mu }^{\sigma }+{\mathfrak {t}}_{\mu }^{\sigma })}{\partial x_{\sigma }}}=0$

이로부터

$\sum _{\sigma }{\frac {\partial {\mathfrak {t}}_{\mu }^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}={\frac {1}{2}}\sum _{\rho \sigma }{\frac {\partial g^{\rho \sigma }}{\partial x_{\mu }}}{\mathfrak {T}}_{\rho \sigma }$

를 얻는다. 장방정식으로부터 ${\mathfrak {T}}_{\rho \sigma }$를 취하여 우변을 좌변의 형태로 바꾸면 ${\mathfrak {t}}_{\mu }^{\sigma }$를 찾게 될 것이다. 여기에서 고려하는 근사의 경우, 이 방정식의 우변에 있는 두 인수는 $1$차 범위의 작은 양이다. ${\mathfrak {t}}_{\mu }^{\sigma }$를 $2$차 항의 양으로 정확하게 구하려면, 우변의 두 인수를 $1$차항의 양으로 정확히 대체하면 된다. 따라서,

${\frac {\partial g^{\rho \sigma }}{\partial x_{\mu }}}$를 $-{\frac {\partial \gamma _{\rho \sigma }}{\partial x_{\mu }}}$로,

그리고 ${\mathfrak {T}}_{\rho \sigma }$를 $T_{\rho \sigma }$로

대체할 수 있다. $t_{\rho }^{\sigma }$는 원하는 근사에서 부호만 다른 $t_{\rho \sigma }$를 도입한다. 이 첨수들의 특성으로 인해, $t_{\rho \sigma }$는 $T_{\rho \sigma }$와 유사한 양이다. 우리는 $t_{\rho \sigma }$를 방정식

$\sum _{\sigma }{\frac {\partial t_{\mu \sigma }}{\partial x_{\sigma }}}={\frac {1}{2}}\sum _{\rho \sigma }{\frac {\partial \gamma _{\rho \sigma }}{\partial x_{\mu }}}T_{\rho \sigma }$

$(8)$

로부터 결정해야 한다. 우변의 경우 $(3)$에 따라

$\gamma _{\mu \nu }=\gamma \,_{\mu \nu }'-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu \nu }\sum _{\alpha }\gamma \,_{\alpha \alpha }'=\gamma \,_{\mu \nu }'-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu \nu }\gamma '$

$(3a)$

이라 두어야 한다는 것을 관찰하고, 또한 $T_{\rho \sigma }$를 $(6)$의 도움으로 $\gamma \,_{\rho \sigma }'$를 이용해 표현하여 변형한다. 간단한 재배열을 거쳐,^[4]

$\sum _{\sigma }{\frac {\partial t_{\mu \sigma }}{\partial x_{\sigma }}}=\sum _{\sigma }{\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\left[{\frac {1}{4\varkappa }}\left(\sum _{\alpha \beta }\left({\frac {\partial \gamma \,_{\alpha \beta }'}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial \gamma \,_{\alpha \beta }'}{\partial x_{\sigma }}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \gamma \,'}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial \gamma \,'}{\partial x_{\sigma }}}\right)-{\frac {1}{8\varkappa }}\delta _{\mu \sigma }\left(\sum _{\alpha \beta \lambda }\left({\frac {\partial \gamma \,_{\alpha \beta }'}{\partial x_{\lambda }}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{\lambda }\left({\frac {\partial \gamma \,'}{\partial x_{\lambda }}}\right)^{2}\right)\right]$

을 얻는다. 이로부터, 우리가

$4\varkappa t_{\mu \sigma }=\left(\sum _{\alpha \beta }\left({\frac {\partial \gamma \,_{\alpha \beta }'}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial \gamma \,_{\alpha \beta }'}{\partial x_{\sigma }}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \gamma \,'}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial \gamma \,'}{\partial x_{\sigma }}}\right)-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu \sigma }\left(\sum _{\alpha \beta \lambda }\left({\frac {\partial \gamma \,_{\alpha \beta }'}{\partial x_{\lambda }}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{\lambda }\left({\frac {\partial \gamma \,'}{\partial x_{\lambda }}}\right)^{2}\right)$

$(9)$

라 두면 에너지 정리를 만족시킬 수 있게 된다. $t_{\mu \sigma }$의 물리적 의미를 파악하는 가장 쉬운 방법은 다음 고려로부터 비롯된다. $t_{\mu \sigma }$는 중력장에 대응되는, 물질의 $T_{\rho \sigma }$이다. 그런데 일관성이 없는 질량 물질은 $1$차항의 범위에서

$T_{\mu \sigma }=T^{\mu \sigma }=\rho {\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\sigma }}{ds}}\quad \left(ds^{2}=-\sum _{\nu }dx_{\nu }^{2}\right)$

$(10)$

가 성립하고, 이 때 $\rho$는 물질 밀도의 스칼라이다. $T_{11},T_{22},T_{33}$은, 따라서 압력 성분을 나타낸다. $T_{14},T_{24},T_{34}$ 또는 $T_{41},T_{42},T_{43}$ 각각은 운동량 밀도 벡터에 ${\sqrt {-1}}$을 곱한 것이다. $t_{\mu \sigma }$의 중력장에 관련한 해석은 이와 유사하게 유도된다.

한가지 예시로, 우리는 다음으로 정지해 있는 질점 $M$의 중력장을 다뤄본다. $(7)$과 $(10)$으로부터 즉시

$\gamma \,_{44}'={\frac {\varkappa }{2\pi }}{\frac {M}{r}}$

$(11)$

을 얻는다. 이 때 나머지 $\gamma \,_{\mu \nu }'$는 모두 사라진다. $(11),(3a),(1)$에 따라, $g_{\mu \nu }$에 대하여 드 지터[De Sitter]가 처음으로 제시한 다음 값을 얻게 된다.

$\left.{\begin{array}{cccc}\displaystyle -1-{\frac {\varkappa }{4\pi }}{\frac {M}{r}}&0&0&0\\\\0&\displaystyle -1-{\frac {\varkappa }{4\pi }}{\frac {M}{r}}&0&0\\\\0&0&\displaystyle -1-{\frac {\varkappa }{4\pi }}{\frac {M}{r}}&0\\\\0&0&0&\displaystyle -1+{\frac {\varkappa }{4\pi }}{\frac {M}{r}}\end{array}}\right\}$

$(11a)$

빛의 속력 $c$는 일반적으로 다음 방정식

$0=ds^{2}=\sum _{\mu \nu }g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu }$

로 주어지고, 여기에서 다음 관계

$\left(1+{\frac {\varkappa }{4\pi }}{\frac {M}{r}}\right)(ds^{2}+dy^{2}+dz^{2})-\left(1-{\frac {\varkappa }{4\pi }}{\frac {M}{r}}\right)dt^{2}=0$

으로부터 유도된다. 따라서, 우리가 선호하는 좌표계 선택에 대하여 빛의 속력

$c={\sqrt {\frac {ds^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}}=1-{\frac {\varkappa M}{4\pi r}}$

$(12)$

은 위치에 의존하나, 방향에는 의존하지 않는다. 또한 $(11a)$로부터 작은 강체는 위치 변화에 대하여 상태를 유지하는 반면, 길이는 $\left(1-{\frac {\varkappa M}{4\pi r}}\right)$에 따라 변한다.

우리의 경우, 방정식 $(9)$는 $t_{\mu \sigma }$에 대하여

$\left.{\begin{array}{l}\displaystyle t_{\mu \sigma }={\frac {\varkappa M^{2}}{32\pi ^{2}}}\left({\frac {x_{\mu }x_{\sigma }}{r^{6}}}-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu \sigma }{\frac {1}{r^{4}}}\right)\quad (\mu ,\sigma =1,2,3)\\\\t_{14}=t_{24}=t_{34}=0\\\\\displaystyle t_{44}=-{\frac {\varkappa M^{2}}{64\pi ^{2}}}\cdot {\frac {1}{r^{4}}}\end{array}}\right\}$

$(13)$

의 값을 준다.

$t_{\mu \sigma }$의 값은 전적으로 좌표의 선택에 의존하며, 이 사실은 G. 노르드스트룀[G. Nordström] 씨가 이미 얼마 전 편지로 지적해주었다.^[5] 좌표계의 선택이 조건 ${\sqrt {g}}=1$로 이루어질 경우, 즉 내가 기존에 질점에 대하여 $g_{\mu \nu }$를

${\begin{aligned}\displaystyle &g_{\mu \sigma }=-\delta _{\mu \sigma }-{\frac {\varkappa M}{4\pi }}{\frac {x_{\mu }x_{\sigma }}{r^{3}}}\quad (\mu ,\sigma =1,2,3)\\\\&g_{14}=g_{24}=g_{34}=0\\\\\displaystyle &g_{44}=1-{\frac {\varkappa M}{4\pi }}\cdot {\frac {1}{r}}\end{aligned}}$

라 표현했던 그 경우에는 이들을 $2$차항의 범위에서 정확하게 다음 공식

$\varkappa \,t_{\sigma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}\delta _{\sigma }^{\alpha }\sum _{\mu \nu \lambda \beta }g^{\mu \nu }\left\{{\mu \lambda \atop \beta }\right\}\left\{{\nu \beta \atop \lambda }\right\}-\sum _{\mu \nu \lambda }g^{\mu \nu }\left\{{\mu \lambda \atop \alpha }\right\}\left\{{\nu \sigma \atop \lambda }\right\}$

을 통해 계산했을 때 중력장의 모든 에너지 성분이 사라진다.

적당히 좌표계를 선택하면, 언제나 중력장의 모든 에너지 성분을 사라지게 할 수 있겠다고 생각할 수 있다. 그렇다면 꽤 주목할 만한 일일 것이다. 하지만 이것은 일반적으로 사실이 아니란 것을 쉽게 보일 수 있다.

§3. 평면 중력파

평면 중력파를 찾으려면, 다음과 같이 (장방정식 $(6)$을 만족시키는) 가정된 해

$\gamma \,_{\mu \nu }'=\alpha _{\mu \nu }\,f(x_{1}+ix_{4})$

$(14)$

에서 시작한다. 여기에서 $\alpha _{\mu \nu }$는 실숫값 상수이고, $f$는 $(x_{1}+ix_{4})$의 실숫값 함수이다. 방정식 $(5)$는 관계식

$\left.{\begin{array}{c}\alpha _{11}+i\alpha _{14}=0\\\alpha _{21}+i\alpha _{24}=0\\\alpha _{31}+i\alpha _{34}=0\\\alpha _{41}+i\alpha _{44}=0\end{array}}\right\}$

$(15)$

을 도출한다. 조건 $(15)$가 만나면, $(14)$는 가능한 중력파를 나타낸다. 그것의 물리적 본성에 대해 더 잘 이해하기 위해 그 에너지 흐름 밀도 ${\frac {t_{41}}{i}}$를 계산해보자. $(15)$에서 주어진 $\gamma \,_{\mu \nu }'$를 방정식 $(9)$에 대입하면,

${\frac {t_{41}}{i}}={\frac {1}{2\varkappa }}f'^{\,2}\left[\left({\frac {\alpha _{22}-\alpha _{33}}{2}}\right)^{2}+\alpha _{23}^{\,\,\,2}\right]$

$(16)$

을 얻는다.

이 결과는 $(15)$가 사용되었을 때 $(14)$에서 도출되는 $6$개의 임의적인 상수 중, $(16)$에서는 오직 두 개만이 남는다는 점에서 의아하게 느껴질 수 있다. $\alpha _{22}-\alpha _{33}$과 $\alpha _{23}$이 사라지는 파동은 에너지를 전달하지 않는다. 이 현상은 이러한 에너지가, 어떤 면에서는 아무런 실체를 갖고 있지 않다는 사실로부터 추론할 수 있는데, 이는 다음과 같은 고려로부터 가장 간단한 방법으로 유도될 수 있다.

먼저, $(15)$에 대하여, 에너지가 없는 파동의 계수 $\alpha _{\mu \nu }$의 도표가

$(\alpha _{\mu \nu }=)\quad \left.{\begin{array}{cccc}\displaystyle \alpha &\beta &\gamma &i\alpha \\\beta &\delta &0&i\beta \\\gamma &0&\delta &i\gamma \\i\alpha &i\beta &i\gamma &-\alpha \end{array}}\right\}$

$(17)$

라는 것에 주목한다. 여기에서 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$는 서로 독립적인 선택가능한 숫자들이다.

다음으로, 적당히 선택된 좌표 $(x_{1}',x_{2}',x_{3}',x_{4}')$에서 선소 $ds$가

$-ds^{2}=dx_{1}'^{\,2}+dx_{2}'^{\,2}+dx_{3}'^{\,2}+dx_{4}'^{\,2}$

$(18)$

의 형태로 표현될 수 있는, 중력장이 없는 공간을 살펴보자. 이제, 새로운 좌표 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$를 도입하여

$x_{\nu }'=x_{\nu }-\lambda _{\nu }\phi (x_{1}+ix_{4})$

$(19)$

와 같이 대체한다. $4$개의 $\lambda _{\nu }$는 실숫값의, 무한히 작은 상수이며 $\phi$는 독립변수 $(x_{1}+ix_{4})$에 대한 실숫값 함수이다. $\lambda _{\nu }$의 $2$차 범위 양들을 무시할 경우, $(18)$과 $(19)$로부터

$ds^{2}=-\sum _{\nu }dx_{\nu }'^{\,2}=-\sum _{\nu }dx_{\nu }^{\,2}+2\phi '(dx_{1}+idx_{4})\sum _{\nu }\lambda _{\nu }dx_{\nu }$

를 얻는다. 이로부터, 연관된 $\gamma _{\mu \nu }$가 다음 값들을 갖게 된다.

$\left({\frac {1}{\phi '}}\gamma _{\mu \nu }=\right)\quad {\begin{array}{cccc}\displaystyle 2\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{3}&i\lambda _{1}+\lambda _{4}\\\\\lambda _{2}&0&0&i\lambda _{2}\\\\\lambda _{3}&0&0&i\lambda _{3}\\\\i\lambda _{1}+\lambda _{4}&i\lambda _{2}&i\lambda _{3}&2i\lambda _{4}\end{array}}$

또한 이로부터 $\gamma \,_{\mu \nu }'$는 다음과 같다.

$\left({\frac {1}{\phi '}}\gamma \,_{\mu \nu }'=\right)\quad \left.{\begin{array}{cccc}\displaystyle \lambda _{1}-i\lambda _{4}&\lambda _{2}&\lambda _{3}&i\lambda _{1}+\lambda _{4}\\\\\lambda _{2}&-\lambda _{1}-i\lambda _{4}&0&i\lambda _{2}\\\\\lambda _{3}&0&-\lambda _{1}-i\lambda _{4}&i\lambda _{3}\\\\i\lambda _{1}+\lambda _{4}&i\lambda _{2}&i\lambda _{3}&-\lambda _{1}+i\lambda _{4}\end{array}}\right\}$

$(20)$

더 나아가 $(19)$의 함수 $\phi$와 $(14)$의 함수 $f$ 사이의 관계를 다음 관계

$\phi '=f$

$(21)$

로 고정하면, 상수들의 이름을 제외하고는 $(20)$의 $\gamma \,_{\mu \nu }'$와, $(14)$ 및 $(17)$의 $\gamma \,_{\mu \nu }'$이 서로 완벽히 일치하는 것을 확인할 수 있다.

에너지를 전달하지 않는 이들 중력파는 따라서 중력장이 없는 계에서 단순히 좌표 변환을 통해 만들어진 것이다. 이들의 존재는 (이러한 관점에서) 오로지 겉보기 현상에 불과한 것이다. 이러한 관점에서 실재하는 것은, $x$축을 따라 진행하는 파동으로써 그 진행이 ${\frac {(\gamma \,_{22}'-\gamma \,_{33}')}{2}}$과 $\gamma \,_{23}'$ (혹은 각각 ${\frac {(\gamma _{22}-\gamma _{33})}{2}}$과 $\gamma _{23}$)에 대응하는 것들 뿐이다. 이 두 유형은 본질적으로 동일하며 방향만 서로 다르다. 파동장은 진행 방향에 수직인 평면에서 각도를 왜곡시키는 방식으로 작용한다. 에너지 흐름 밀도, 운동량, 에너지는 $(16)$으로 주어진다.

§4. 역학적 계에 의한 중력파의 방출

고립된 역학적 계를 고려하여, 그 중력 중심이 영구적으로 좌표계 원점과 일치한다고 하자. 이 계의 변화는 매우 느리게 이루어지고, 공간적 범위는 매우 작아서 내부의 임의의 두 질점 사이의 거리에 대응하는 빛-시간[Lichtzeit; Light-time]이 무한히 짧다고 가정할 수 있다고 하자. 이제, 이 계에서 (좌표계의) 양의 $x$축 방향으로 방출되는 중력파를 살펴보자.

마지막에 언급된 제한 조건은 고려하는 점과 원점 사이의 거리 $R$이 충분히 멀 때, $(7)$을 방정식

$\gamma \,_{\mu \nu }'=-{\frac {\varkappa }{2\pi R}}\int T_{\mu \nu }(x_{0},y_{0},z_{0},t-R)dV_{0}$

$(7a)$

으로 대체할 수 있음을 시사한다. 우리는 논의를 에너지를 전달하는 파동으로 국한시킬 수 있다. 그러면 §3의 결과로, $\gamma \,_{23}'$ 성분과 ${\frac {(\gamma \,_{22}'-\gamma \,_{33}')}{2}}$ 성분만 구하면 된다. $(7a)$의 우변에 있는 공간 상 적분은 M. 라우에[M. Laue]가 고안한 방식으로 다시 쓸 수 있다. 우리는 적분

$\int T_{23}dV_{0}$

에 대해서만 자세한 계산을 원한다. 두 운동량 방정식

${\frac {\partial T_{21}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial T_{22}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial T_{23}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial T_{24}}{\partial x_{4}}}=0$

${\frac {\partial T_{31}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial T_{32}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial T_{33}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial T_{34}}{\partial x_{4}}}=0$

에 각각 ${\frac {x_{3}}{2}}$과 ${\frac {x_{2}}{2}}$를 곱한 다음, 각각을 전체 역학적 계에 걸쳐 적분한 뒤 둘을 더하면, 간단한 재배열 뒤 부분적분을 거쳐

$-\int T_{23}dV_{0}+{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx_{4}}}\left\{\int (x_{3}T_{24}+x_{2}T_{34})dV_{0}\right\}=0$

을 얻는다. 후자의 적분을 다시 에너지 방정식

${\frac {\partial T_{41}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial T_{42}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial T_{43}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial T_{44}}{\partial x_{4}}}=0$

의 도움으로 변형시키자. 이 방정식에 ${\frac {x_{2}x_{3}}{2}}$을 곱한 다음 다시 적분하고, 재배열과 부분적분을 거치면

$-{\frac {1}{2}}\int (x_{3}T_{42}+x_{2}T_{43})dV_{0}+{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx_{4}}}\left\{\int x_{2}x_{3}T_{44}dV_{0}\right\}=0$

그 위 방정식에 이것을 대입하면,

$\int T_{23}dV_{0}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dx_{4}^{\,\,2}}}\left\{\int x_{2}x_{3}T_{44}dV_{0}\right\}$

을 얻거나, 또는 ${\frac {d^{2}}{dx_{4}^{\,\,2}}}$은 $-{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}$으로, $T_{44}$는 물질의 음의 밀도 $(-\rho )$로 대체해야 하므로

$\int T_{23}dV_{0}={\frac {1}{2}}{\ddot {\mathfrak {J}}}_{23}$

$(22)$

을 얻는다. 여기에서,

${\mathfrak {J}}_{\mu \nu }=\int x_{\mu }x_{\nu }\rho dV_{0}$

$(23)$

이라 축약하였다. ${\mathfrak {J}}_{\mu \nu }$는 역학적 계의 (시간에 따라 변하는) 관성 모멘트의 성분이다.

동일한 방식으로

$\int (T_{22}-T_{33})dV_{0}={\frac {1}{2}}\left({\ddot {\mathfrak {J}}}_{22}-{\ddot {\mathfrak {J}}}_{33}\right)$

$(24)$

을 얻는다. $(22)$와 $(24)$를 바탕으로, $(7a)$로부터

$\gamma \,_{23}'=-{\frac {\varkappa }{4\pi R}}{\ddot {\mathfrak {J}}}_{23}$

$(25)$

${\frac {\gamma \,_{22}'-\gamma \,_{33}'}{2}}=-{\frac {\varkappa }{4\pi R}}\left({\frac {{\ddot {\mathfrak {J}}}_{22}-{\ddot {\mathfrak {J}}}_{33}}{2}}\right)$

$(26)$

을 얻는다.

$(7a),(22),(24)$에 따라서 ${\mathfrak {J}}_{\mu \nu }$는 시간 $t-R$에서의 것으로, 즉 $t-R$의 함수로 보아야 한다. 혹은 $x$축에 인접한 매우 큰 $R$에 대하여 $t-x$의 함수로도 볼 수 있다. 따라서, $(25),(26)$은 $x$축을 따라 측정한 에너지 선속이 $(16)$에 의해 밀도

${\frac {t_{41}}{i}}={\frac {\varkappa }{32\pi ^{2}R^{2}}}\left[\left({\frac {{\overset {\cdot \cdot \cdot }{\mathfrak {J}}}_{22}-{\overset {\cdot \cdot \cdot }{\mathfrak {J}}}_{33}}{2}}\right)^{2}+{\overset {\cdot \cdot \cdot }{\mathfrak {J}}}_{23}^{\,\,\,2}\right]$

$(27)$

를 갖는 중력파를 나타낸다.

이번에는, 계에서 발생하는 중력파의 총 복사량에 대해 살펴보자. 이 질문에 답하기 위해서는, 먼저 방향으로 정의된 어떤 코사인 $\alpha$에 대하여 역학적 계가 방출하는 에너지가 얼마인지 살펴봐야 한다. 이는 변환 혹은, 짧게 말하면 그것을 다음의 형식적인 문제로 바꿔서 찾을 수 있다.

$A_{\mu \nu }$를 ($3$차원 상의) 대칭 텐서, $\alpha _{\nu }$를 벡터라 하자. 스칼라 $S$를 생각하여, 이것이 $A_{\mu \nu }$와 $\alpha _{\nu }$의 함수로써, $A_{\mu \nu }$가 정수이며 $2$차항 범위로 동차여서 $S$가 $\alpha _{1}=1,\,\,\alpha _{2}=\alpha _{3}=0$일 때 $\left({\frac {A_{22}-A_{33}}{2}}\right)^{2}+A_{23}^{2}$이 되도록 구해보자. 원하는 스칼라는 스칼라 $\sum _{\mu }A_{\mu \mu },\,\,\sum _{\mu \nu }A_{\mu \nu }^{2},\,\,\sum _{\mu \nu }A_{\mu \nu }\alpha _{\mu }\alpha _{\nu },\,\,\sum _{\mu \sigma \tau }A_{\mu \sigma }A_{\mu \tau }\alpha _{\sigma }\alpha _{\tau }$의 함수일 것이다. 마지막 두 스칼라는 $\alpha _{\nu }=(1,0,0)$에 대하여 각각 $A_{11}$과 $\sum _{\mu }A_{1\mu }^{2}$으로 바뀌므로, 약간의 숙고를 거치면, 원하는 스칼라는

$S=-{\frac {1}{4}}\left(\sum _{\mu }A_{\mu \mu }\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{\mu }A_{\mu \mu }\sum _{\rho \sigma }A_{\rho \sigma }\alpha _{\rho }\alpha _{\sigma }+{\frac {1}{4}}\left(\sum _{\rho \sigma }A_{\rho \sigma }\alpha _{\rho }\alpha _{\sigma }\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{\mu \nu }A_{\mu \nu }^{2}-\sum _{\mu \sigma \tau }A_{\mu \sigma }A_{\mu \tau }\alpha _{\sigma }\alpha _{\tau }$

$(28)$

임을 알 수 있다. $S$가 $(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})$의 "바깥" 방향으로 방사상으로 흘러 나오는 중력 복사의 밀도임은 다음과 같이 두었을 때 분명하다.

$A_{\mu \nu }={\frac {\sqrt {\varkappa }}{8\pi R}}{\overset {\cdot \cdot \cdot }{\mathfrak {J}}}_{\mu \nu }$

$(29)$

$A_{\mu \nu }$가 고정되었을 때 공간 상의 모든 방향에 대한 $S$의 평균값을 구하면, 복사의 평균 밀도 ${\bar {S}}$를 얻는다. 마지막으로, ${\bar {S}}$에 $4\pi R^{2}$을 곱하면 중력파에 의해 역학적 계가 (단위 시간 당) 잃는 에너지를 얻는다. 계산하면 다음과 같다.

$4\pi R^{2}{\bar {S}}={\frac {\varkappa }{40\pi }}\left[\sum _{\mu \nu }{\overset {\cdot \cdot \cdot }{\mathfrak {J}}}_{\mu \nu }^{2}-{\frac {1}{3}}\left(\sum _{\mu }{\overset {\cdot \cdot \cdot }{\mathfrak {J}}}_{\mu \mu }\right)^{2}\right]$

$(30)$

이 결과는, 구형 대칭을 영구히 유지하는 역학적 계는 복사를 방출할 수 없음을 보여준다. 이는 기존 논문의 (계산 오류에 의해 왜곡된) 결과와는 반대이다.

$(27)$로부터 방출은 어떤 방향으로도 음전될 수 없다. 결과적으로, 총 방출 또한 명백히 음전될 수 없다. 기존 논문에서 이미 강조되었듯이, 이 연구의 마지막 결과(열적 요동에 의한 물체의 에너지 손실을 요구)는 이론의 일반적인 타당성에 의문을 제기한다. 더 완전한 양자 이론이 등장하여 중력 이론을 수정해야 할 것으로 보인다.

§5. 역학적 계에 중력파가 미치는 영향

완전성을 위해서, 중력파로부터의 에너지가 역학적 계에 얼마나 흡수될 수 있는지 간단하게 살펴보고 싶다. 다시 §4에서 조사했던 것과 같은 역학적 계가 있다고 하자. 이 계가 계의 규모에 비해 큰 파장을 지닌 중력파의 작용을 받는다고 하자. 계에 흡수되는 에너지를 구하기 위해, 물질의 에너지-운동량 방정식

$\sum _{\sigma }{\frac {\partial {\mathfrak {T}}_{\mu }^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho \sigma }{\frac {\partial g^{\rho \sigma }}{\partial x_{\mu }}}{\mathfrak {T}}_{\rho \sigma }=0$

을 살펴본다. 이 방정식을 상수 $x_{4}$에서 전체 계에 걸쳐 적분하면 $\mu =4$에 대하여 (에너지 정리)

${\frac {d}{dx_{4}}}\left\{\int {\mathfrak {T}}_{4}^{4}\,dV\right\}=-{\frac {1}{2}}\int dV\sum _{\rho \sigma }{\frac {\partial g^{\rho \sigma }}{\partial x_{4}}}{\mathfrak {T}}_{\rho \sigma }$

를 얻는다. 좌변의 적분은 전체 물질계의 에너지 $E$이다. 따라서, 좌변에서 에너지는 시간에 따라 증가하게 된다. 실숫값 시간에 대하여 미분을 수행한 다음 우변을 $2$차항 범위로 한정하면

${\frac {dE}{dt}}={\frac {1}{2}}\int dV\sum _{\rho \sigma }\left({\frac {\partial \gamma _{\rho \sigma }}{\partial t}}T_{\rho \sigma }\right)$

$(31)$

를 얻는다. 이제, 중력장을 나타내는 $\gamma _{\rho \sigma }$를 사건 파동에 대응하는 $(\gamma _{\rho \sigma })_{w}$, 그리고 방정식

$\gamma _{\rho \sigma }=(\gamma _{\rho \sigma })_{w}+(\gamma _{\rho \sigma })_{v}$

$(32)$

에 따른 나머지 요소 $(\gamma _{\rho \sigma })_{v}$로 분리할 수 있다. 이에 따라서, $(31)$의 우변에 있는 적분은 두 적분의 합으로 나뉘며 첫번째는 파동에서 유래된 에너지 증가를 표현한다. 여기에서는 이것에만 관심을 둔다. 따라서, 복잡한 기호의 부담을 덜기 위하여 앞으로는 $(31)$에서 ${\frac {dE}{dt}}$는 오직 파동에 의한 에너지 증가만을 나타내기로 하고, $(\gamma _{\rho \sigma })_{w}$ 부분을 단지 $\gamma _{\rho \sigma }$라 쓴다. 이 $\gamma _{\rho \sigma }$는 이제 국소적으로 느리게 변하는 함수이며 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\frac {dE}{dt}}={\frac {1}{2}}\sum _{\rho \sigma }{\frac {\partial \gamma _{\rho \sigma }}{\partial t}}\cdot \int T_{\rho \sigma }dV$

$(33)$

작용하는 파동이 에너지를 전달하는 유형의 것이며, 중력장의 성분 중 오직 $\gamma _{23}\,(=\gamma \,_{23}')$만이 $0$과 다르다고 하자. $(22)$에 의해

${\frac {dE}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial \gamma _{23}}{\partial t}}{\frac {d^{2}{\mathfrak {J}}_{23}}{dt^{2}}}$

$(33)$

이다. 주어진 파동 및 주어진 물질 과정에 대하여, 파동으로부터 흡수되는 에너지는 따라서 적분으로 구할 수 있다.

§6. 레비치비타[Levi-Civita] 씨의 이의에 대한 답변

레비치비타 씨는 최근 연속적인 흥미로운 연구를 통해, 일반 상대성 이론의 문제들을 명료화하는 데에 기여하였다. 그 논문들 중 하나^[6]에서 그는 보존 정리에 대하여 나의 견해와 다른 입장을 취했으며, 그의 해석에 의거하여, 중력파를 통한 에너지 복사에 관한 나의 결론을 부정하였다. 비록 우리 둘은 그 사이에, 편지 교환을 통해, 양쪽이 모두 만족하는 방향으로 문제를 명료화할 수 있었지만, 보존 정리에 대한 몇 가지의 일반적인 언급을 더하는 것이 관심 속 주제에 있어 바람직하다고 느낀다.

일반적으로 인정되는 사실로, 일반 상대성 이론의 기초적인 내용에 따라, 좌표계의 임의적인 선택에 대하여 유효한 $4$개의 방정식이 존재하여, 다음 형태를 가질 수 있다.

$\sum _{\nu }{\frac {\partial ({\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+{\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu })}{\partial x_{\nu }}}=0\quad (\sigma =1,2,3,4)$

$(35)$

여기에서 ${\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }$는 물질의 에너지 성분이며, ${\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }$는 $g_{\mu \nu }$와 그 일계 미분의 어떤 함수이다. 그런데 ${\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }$가 중력장의 에너지 성분으로 해석되어야 하는지에 관해서는 의견이 분분하다. 나는 이러한 의견차가 단순한 용어 상의 문제로서는 큰 관계가 없다고 여긴다. 다만, 나는 위에서 제시된 이론의 여지가 없는 방정식이, 보존 정리에 가치를 부여하는 관점을 용이하게 한다고 본다. 나는 이것을 $4$번째 방정식($\sigma =4$), 내가 그간 에너지 방정식이라 불렀던 것으로 설명하려고 한다.

공간 상에서 한정된 물질계를 놓아 그 밖에서는 물질의 밀도와 전자기장의 세기가 사라진다고 하자. 정지해 있으며 이 계를 뒤덮는 곡면 $S$를 생각한다. $4$번째 방정식을 $S$가 담고 있는 전체 공간에 걸쳐 적분하면 다음을 얻는다:

$-{\frac {d}{dx_{4}}}\left\{\int ({\mathfrak {T}}_{4}^{4}+{\mathfrak {t}}_{4}^{4})dV\right\}=\int _{S}\left({\mathfrak {t}}_{4}^{1}\cos(nx_{1})+{\mathfrak {t}}_{4}^{2}\cos(nx_{2})+{\mathfrak {t}}_{4}^{3}\cos(nx_{3})\right)d\sigma$

$(36)$

어떤 이유가 되었든, ${\mathfrak {t}}_{4}^{4}$를 중력장의 에너지 밀도, $\left({\mathfrak {t}}_{4}^{1},{\mathfrak {t}}_{4}^{2},{\mathfrak {t}}_{4}^{3}\right)$을 중력의 에너지 선속을 나타내는 성분으로 반드시 불러야 할 필요는 없다. 하지만 다음과 같이 주장할 수 있다: 우변은 명백히, ${\mathfrak {t}}_{4}^{4}$의 공간 상 적분이 "물질" 에너지 밀도 ${\mathfrak {T}}_{4}^{4}$의 것과 비교하여 작을 경우 계가 잃는 물질 에너지를 나타낸다. 나는 중력파에 관한 이전 논문과 이번 논문에서 이 관점만을 사용하였다.

레비치비타 씨는 (그리고 그 이전에, 덜 강조되었지만 이미 H.A. 로런츠 씨 또한) $(35)$와 다른 형태의 보존 정리를 구축할 것을 제안하였다. 그는 (그의 다른 동료들 또한) 방정식 $(35)$를 강조하는 것에 반대하였고, 또한 ${\mathfrak {t}}_{\sigma }^{\nu }$가 텐서를 형성하지 않는다는 점에서 상단의 해석에도 반대하였다. 후자는 물론 인정한다. 다만 나는 왜 텐서 성분의 변환 규칙을 갖는 양들만이 물리적 의미를 가져야 하는지 납득할 수 없다. 필요한 것은 오로지 방정식계 $(35)$가 참인 임의의 좌표계 선택에 대하여 유효한 방정식계 뿐일 따름이다. 레비치비타는 다음과 같은 형식의 에너지-운동량 정리를 제안하였다. 그는 중력장 방정식을 다음 형태로 쓴다.

$T_{im}+A_{im}=0$

$(37)$

여기에서 $T_{im}$은 물질의 에너지 텐서이고 $A_{im}$은 좌표계에 대하여 $g_{\mu \nu }$와 그 일계, 이계 도함수에만 의존하는 공변 텐서이다. $A_{im}$은 중력장의 에너지 성분이라 부른다.

논리적으로는, 물론 이러한 단어 선택에 이의를 제기할 수 없다. 그러나 나는 $(37)$이 우리가 보존 정리로부터 유도해왔던 결론들을 제공하지 못한다고 본다. 이는 $(37)$에서 총 에너지의 성분들이 어디서나 사라진다는 사실에 연결되어 있다. 방정식 $(37)$은, 예를 들어 (방정식 $[35]$와 다르게) 물질계가 아무런 흔적을 남기지 못하고 무로 돌아갈 가능성을 배제하지 못한다. 왜냐하면 $(37)$에서 총 에너지는 ($(35)$와는 달리) 처음부터 $0$이기 때문이다. 이 에너지 값의 보존은 어떤 형태의 계라도 지속적으로 존재하도록 요구하지 않는다.

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1. 같은 Sitzungsber. (1916), pp.688 ff. (위키문헌)
2. 여기에서는 "$\lambda$-항"을 도입하지 않는다.(Sitzungsber. [1917], p. 142 참고. (위키문헌))
3. Ann. d. Phys. 49 (1916), eq.(50). (위키문헌)
4. (처음에 언급된) 내 기존 논문의 오류는 $(8)$의 우변에서 ${\frac {\partial \gamma _{\rho \sigma }}{\partial x_{\mu }}}$ 대신 ${\frac {\partial \gamma \,_{\rho \sigma }'}{\partial x_{\mu }}}$를 사용한 것이다. 이 오류는 한편으로 이 논문의 §2와 §3을 다시 작성하도록 강제한다.
5. E. Schrödinger, Phys. Zeitschr. 1 (1918), p.4도 참고한다.
6. Accademia dei Lincei 26 (April 1, 1917)